Optimaalisen kuljetuksen kriteerinä. Optimaalisuuskriteeri kuljetusongelman perusratkaisulle

Suunnitteluparametrit. Tämä termi tarkoittaa riippumattomia muuttujaparametreja, jotka määrittelevät täysin ja yksiselitteisesti ratkaistavan suunnitteluongelman. Suunnitteluparametrit ovat tuntemattomia suureita, joiden arvot lasketaan optimointiprosessin aikana. Suunnitteluparametreina voivat toimia kaikki perus- tai johdetut suureet, jotka kuvaavat järjestelmää kvantitatiivisesti. Joten se voi olla tuntemattomia pituuden, massan, ajan, lämpötilan arvoja. Suunnitteluparametrien määrä kuvaa tietyn suunnitteluongelman monimutkaisuuden astetta. Yleensä suunnitteluparametrien lukumäärä merkitään n:llä ja itse suunnitteluparametrit x:llä vastaavilla indekseillä. Siten tämän ongelman n suunnitteluparametria merkitään

X1, X2, X3, ... Xp.

On huomattava, että suunnitteluparametreja voidaan joissakin lähteissä kutsua sisäisiksi kontrolloiduiksi parametreiksi.

kohdetoiminto. Tämä on lauseke, jonka arvon suunnittelija pyrkii maksimoimaan tai minimoimaan. Tavoitefunktio mahdollistaa kahden vaihtoehtoisen ratkaisun kvantitatiivisen vertailun. Matemaattisesta näkökulmasta kohdefunktio kuvaa jotain (n + 1) - ulottuvuutta. Sen arvo määräytyy suunnitteluparametrien mukaan

M = M (x1,x2,…,xn).

Esimerkkejä insinööritoiminnassa usein tavattavasta tavoitefunktiosta ovat hinta, paino, lujuus, mitat, tehokkuus. Jos suunnitteluparametreja on vain yksi, tavoitefunktio voidaan esittää käyrällä tasolla (kuva 1). Jos suunnitteluparametreja on kaksi, niin tavoitefunktio esitetään pintana kolmen ulottuvuuden avaruudessa (kuva 2). Kolmella tai useammalla suunnitteluparametrilla kohdefunktion määrittelemiä pintoja kutsutaan hyperpinnoiksi, eikä niitä voida kuvata tavanomaisin keinoin. Objektifunktion pinnan topologiset ominaisuudet ovat tärkeässä roolissa optimointiprosessissa, koska tehokkaimman algoritmin valinta riippuu niistä.

Kuva 1. Yksiulotteinen tavoitefunktio.

Kuva 2. 2D-objektifunktio.

Tavoitefunktio voi joissain tapauksissa olla mitä odottamattomimmissa muodoissa. Esimerkiksi sitä ei aina ole mahdollista ilmaista suljetussa matemaattisessa muodossa, muissa tapauksissa se voi olla paloittain lineaarinen funktio. Tavoitefunktio voi joskus vaatia teknisen tietotaulukon (esimerkiksi höyrytilataulukon) tai se voi olla tarpeen suorittaa koe. Joissakin tapauksissa suunnitteluparametrit ottavat vain kokonaislukuja. Esimerkkinä voisi olla hammaspyörän hampaiden lukumäärä tai laipan pulttien lukumäärä. Joskus suunnitteluparametreilla on vain kaksi arvoa - kyllä tai ei. Laadullisia parametreja, kuten asiakastyytyväisyys, luotettavuus, estetiikka, on vaikea ottaa huomioon optimointiprosessissa, koska niitä on lähes mahdotonta mitata. Kuitenkin missä muodossa tavoitefunktio esitetään, sen on oltava suunnitteluparametrien yksiarvoinen funktio.

Useissa optimointiongelmissa tarvitaan useampi kuin yksi tavoitefunktio. Joskus yksi niistä voi olla yhteensopimaton toisen kanssa. Esimerkkinä on lentokoneiden suunnittelu, jolloin vaaditaan samanaikaisesti maksimaalinen lujuus, vähimmäispaino ja vähimmäiskustannukset. Tällaisissa tapauksissa suunnittelijan on otettava käyttöön prioriteettijärjestelmä ja osoitettava jokaiselle tavoitefunktiolle jokin dimensioton kertoja. Tämän seurauksena näkyviin tulee "kompromissifunktio", joka mahdollistaa yhden yhdistetyn tavoitefunktion käytön optimointiprosessissa.

Löytää minimi ja maksimi. Jotkut optimointialgoritmit on mukautettu etsimään maksimi, toiset etsimään minimi. Ratkaistavan äärimmäisen ongelman tyypistä riippumatta voidaan kuitenkin käyttää yhtä ja samaa algoritmia, sillä minimointitehtävä voidaan helposti muuttaa maksimilöytämisongelmaksi muuttamalla tavoitefunktion etumerkki päinvastaiseksi. Tämä tekniikka on kuvattu kuvassa 3.

Kuva 3. Kun tavoitefunktion etumerkki käännetään minimitehtävässä, se muuttaa sen maksimitehtäväksi.

Suunnittelutila. Tämä on kaikkien n suunnitteluparametrien määrittämän alueen nimi. Suunnittelutila ei ole niin suuri kuin miltä se saattaa näyttää, koska sitä rajoittavat yleensä useat ongelman fyysiseen luonteeseen liittyvät olosuhteet. Rajoitukset voivat olla niin voimakkaita, että ongelmalle ei löydy yhtä tyydyttävää ratkaisua. Rajoitukset jaetaan kahteen ryhmään: rajoitteet - tasa-arvot ja rajoitukset - epätasa-arvot.

Tasa-arvorajoitukset ovat suunnitteluparametrien välisiä riippuvuuksia, jotka on otettava huomioon ratkaisua etsittäessä. Ne heijastavat luonnonlakeja, taloutta, oikeuksia, vallitsevia makuja ja tarvittavien materiaalien saatavuutta. Rajoitusten lukumäärä - tasa-arvot voivat olla mitä tahansa. He näyttävät

C1 (X1, X2, X3, ..., Xn) = 0,

C2 (X1, X2, X3, ..., X n) = 0,

..……………………………..

Сj(X1, X2, X 3, . . ., Xn) = 0.

Epätasa-arvorajoitukset ovat erityinen rajoitus, jota eriarvoisuus ilmaisee. Yleensä niitä voi olla mielivaltaisen suuri määrä, ja kaikilla on muoto

z1 ?r1(X1, X2, X3, . . ., Xn) ?Z1

z2 ?r2(X1, X2, X3, . . ., Xn) ?Z2

………………………………………

zk ?rk(X1, X2, X3, . . ., Xn) ?Zk

On huomattava, että hyvin usein rajoitusten vuoksi tavoitefunktion optimaalista arvoa ei saavuteta siellä, missä sen pinnalla on nollagradientti. Usein paras ratkaisu on jollain suunnittelualueen rajoista.

Suorat ja toiminnalliset rajoitukset. Suorilla rajoituksilla on muoto

xni ? xi? xв i at i ? ,

missä xнi , xвi ovat i:nnen ohjatun parametrin pienin ja suurin sallittu arvo; n on ohjattujen parametrien tilan mitta. Esimerkiksi monien objektien elementtiparametrit eivät voi olla negatiivisia: xнi ? 0 (geometriset mitat, sähkövastukset, massat jne.).

Toiminnalliset rajoitukset ovat pääsääntöisesti ehtoja tulosparametrien suorituskyvylle, jotka eivät sisälly tavoitefunktioon. Toiminnallisia rajoituksia voivat olla:

1) tasa-arvojen tyyppi
w(X) = 0; (2.1)
2) eriarvoisuuden tyyppi

u(X) › 0, (2.2)

missä w(X) ja u(X) ovat vektorifunktioita.

Suorat ja toiminnalliset rajoitukset muodostavat haun kelvollisen laajuuden:

XD = (X | w(X) = 0, q (X) › 0, xi › xni ,

xi ‹ xвi minulle? ).

Jos rajoitukset (2.1) ja (2.2) osuvat yhteen käyttöehtojen kanssa, niin sallittua aluetta kutsutaan myös XP:n toiminta-alueeksi.

Mikä tahansa XD:hen kuuluva piste X on toteuttamiskelpoinen ratkaisu ongelmaan. Usein parametrinen synteesi asetetaan ongelmaksi minkä tahansa mahdollisen ratkaisun määrittämisessä. Paljon tärkeämpää on kuitenkin ratkaista optimointiongelma - löytää optimaalinen ratkaisu toteutettavissa olevien joukosta.

paikallinen optimi. Tämä on suunnittelutilan pisteen nimi, jossa kohdefunktiolla on suurin arvo verrattuna sen arvoihin kaikissa muissa sen välittömässä läheisyydessä. Kuvassa 4 on yksiulotteinen tavoitefunktio kahdella paikallisella optimilla. Usein suunnittelutila sisältää monia paikallisia optimeja, ja on varottava, ettei ensimmäistä erehdy optimaaliseksi ratkaisuksi ongelmaan.

Kuva 4. Mielivaltaisella tavoitefunktiolla voi olla useita paikallisia optimeja.

Globaali optimi on optimaalinen ratkaisu koko suunnittelutilalle. Se on parempi kuin kaikki muut paikallista optimia vastaavat ratkaisut, ja tätä suunnittelija etsii. Useiden yhtäläisten globaalien optimien tapaus eri osat suunnittelutilaa. Näin voit valita parhaan vaihtoehdon samanarvoisista parhaat vaihtoehdot tavoitefunktion mukaan. Tässä tapauksessa suunnittelija voi valita vaihtoehdon intuitiivisesti tai saatujen vaihtoehtojen vertailun perusteella.

Kriteerien valinta. Suurin ongelma ääriongelmien asettamisessa on tavoitefunktion muotoilu. Tavoitefunktion valinnan monimutkaisuus johtuu siitä, että millä tahansa teknisellä objektilla on aluksi optimaalisuuskriteerien (multi-kriteerien) vektoriluonne. Lisäksi yhden lähtöparametrin parantaminen johtaa pääsääntöisesti toisen huononemiseen, koska kaikki lähtöparametrit ovat samojen ohjattujen parametrien toimintoja eikä niitä voida muuttaa toisistaan riippumatta. Tällaisia lähtöparametreja kutsutaan konfliktiparametreiksi.

Tavoitefunktion on oltava yksi (ainutlaatuisuusperiaate). Monikriteeriongelman pelkistämistä yksikriteeriongelmaksi kutsutaan vektorikriteerin konvoluutioksi. Sen ääripisteen löytämisen ongelma on pelkistetty matemaattisen ohjelmoinnin ongelmaksi. Riippuen siitä, miten tulosparametrit valitaan ja yhdistetään, skalaarilaatufunktiossa erotetaan yksityiset, additiivinen, kertova, minimi, tilastolliset kriteerit ja muut kriteerit. Teknisen kohteen suunnittelun toimeksianto määrittelee tärkeimpien lähtöparametrien vaatimukset. Nämä vaatimukset ilmaistaan erityisten numeeristen tietojen muodossa, niiden vaihteluvälinä, käyttöolosuhteina ja hyväksyttävinä minimi- tai enimmäisarvoina. Vaadittuja lähtöparametrien ja teknisten vaatimusten (TT) välisiä suhteita kutsutaan suorituskykyehdoksi ja ne kirjoitetaan seuraavasti:

yi< TTi , i О ; yi >TTj, jO;

yr = TTr ± yv; r O .

missä yi, yj, yr - lähtöparametrien joukko;

TTi, TTj, TTr - vastaavien lähtöparametrien vaaditut kvantitatiiviset arvot toimeksiannon mukaisesti;

Yr - r:nnen lähtöparametrin sallittu poikkeama spesifikaatiossa määritellystä arvosta TTr.

Käyttöehdoilla on ratkaiseva merkitys teknisten laitteiden kehittämisessä, sillä suunnittelutehtävänä on valita sellainen suunnitteluratkaisu, jossa kaikki toimintaedellytykset täyttyvät parhaiten koko ulkoisten parametrien alueella ja kun kaikki teknisen toimeksiannon vaatimukset täyttyvät. tavannut.

Erityisiä kriteerejä voidaan soveltaa tapauksissa, joissa lähtöparametreista voidaan valita yksi pääparametri yi(X), joka heijastaa parhaiten suunnitellun kohteen tehokkuutta. Tämä parametri on tavoitefunktio. Esimerkkejä tällaisista parametreista ovat: energialaitos - teho, teknologinen kone - suorituskyky, ajoneuvo - kantavuus. Monille teknisille kohteille tämä parametri on hinta. Objektin kaikkien muiden lähtöparametrien toimivuuden ehtoja kutsutaan toiminnallisiksi rajoituksiksi. Tällaiseen lauseeseen perustuvaa optimointia kutsutaan osittaiseksi kriteerioptimoinniksi.

Tämän lähestymistavan etuna on sen yksinkertaisuus, merkittävä haittapuoli on, että vain pääparametrilla, joka on otettu tavoitefunktioksi, saadaan suuri työkykymarginaali ja muilla lähtöparametreilla ei ole marginaaleja ollenkaan.

Painotettua additiivista kriteeriä käytetään, kun suorituskykyolosuhteet sallivat meidän erottaa kaksi lähtöparametriryhmää. Ensimmäiseen ryhmään kuuluvat lähtöparametrit, joiden arvoja tulee nostaa optimoinnin y+i(X) aikana (suorituskyky, kohinansieto, häiriöttömän toiminnan todennäköisyys jne.), toiseen ryhmään kuuluvat lähtöparametrit, joiden arvojen tulisi olla vähentynyt y-i(X) (polttoaineenkulutus, transientin kesto, ylitys, offset jne.). Useiden lähtöparametrien, joilla on yleensä erilaiset fyysiset mitat, yhdistäminen yhteen skalaariseen tavoitefunktioon vaatii näiden parametrien alustavan normalisoinnin. Menetelmiä parametrien normalisoimiseksi käsitellään alla. Toistaiseksi oletetaan, että kaikki y(X) ovat dimensioimattomia ja niiden joukossa ei ole yhtäläisyystyyppisiä suoritusehtoja vastaavia. Tällöin tavoitefunktion minimoinnissa vektorikriteerin konvoluutiolla on muoto

missä aj>0 on painotuskerroin, joka määrittää j:nnen lähtöparametrin tärkeysasteen (yleensä suunnittelija valitsee aj:t ja pysyy vakiona optimointiprosessin aikana).

Muodossa (2.1) oleva tavoitefunktio, joka ilmaisee summauskriteerin, voidaan kirjoittaa myös siinä tapauksessa, että kaikki tai pääasialliset suoritusehdot ovat yhtäläisyyden muotoisia. Sitten tavoitefunktio

määrittää neliöjuuren keskiarvon yj(X) määritellylle spesifikaatiolle TTj.

Kertojan kriteeriä voidaan soveltaa niissä tapauksissa, joissa ei ole yhtäläisyystyyppisiä suorituskykyehtoja ja lähtöparametrit eivät voi saada nolla-arvoa. Tällöin minimoitavalla multiplikatiivisella tavoitefunktiolla on muoto

Yksi merkittävimmistä sekä additiivisten että multiplikatiivisten kriteerien puutteista on tulosparametrien teknisten vaatimusten huomioimatta jättäminen ongelman muotoilussa.

Funktiomuotokriteeriä käytetään, kun asetetaan tehtävä, joka parhaiten täsmää annetun (viite)ominaisuuden yТТ(X, u) kanssa suunnitellun kohteen vastaavan lähtöominaisuuden y(X, u) kanssa, missä u on jokin muuttuja, esimerkiksi taajuus, aika, valittu vaihemuuttuja. Näihin tehtäviin kuuluvat: automaattisen ohjausjärjestelmän suunnittelu, joka tarjoaa vaaditun tyyppisen transienttiprosessin ohjatulle parametrille; transistorimallin parametrien määrittäminen siten, että sen teoreettiset virta-jännite-ominaisuudet vastaavat mahdollisimman hyvin kokeellisia; etsi palkkiosuuksien parametrit, joiden arvot johtavat parhaan yhteensopivuuteen annetun jännityskaavion ja lasketun välillä jne.

Tietyn optimointikriteerin käyttö näissä tapauksissa rajoittuu jatkuvien ominaisuuksien korvaamiseen äärellisillä solmupisteiden joukolla ja jonkin seuraavista minimoitavista tavoitefunktioista:

jossa p on solmupisteiden lukumäärä uj muuttujan u akselilla; aj - painokertoimet, joiden arvot ovat suurempia, sitä pienempi poikkeama y(X, uj) - yTT(X, uj) on saatava j:nnessä pisteessä.

Maximin (minimax) -kriteerit mahdollistavat yhden optimaalisen suunnittelun tavoitteista - parhaan suorituskyvyn tyytyväisyyden.

Esitetään kvantitatiivinen arvio j:nnen suoritusehdon täyttymisasteesta, merkitään se zj:llä ja kutsutaan sitä parametrin yj suoritusmarginaaliksi. j:nnen lähtöparametrin marginaalin laskeminen voidaan suorittaa eri tavoin, esim.

missä aj - painotuskerroin; yjnom - j:nnen lähtöparametrin nimellisarvo; dj - arvo, joka kuvaa j:nnen lähtöparametrin leviämistä.

Tässä oletetaan, että kaikki suhteet pelkistyvät muotoon yi< TТj. Если yi >TTj sitten -yj< -TТj . Следует принимать аj >1 (suositusarvot 5 ? aj ? 20), jos halutaan saavuttaa j:s tekninen vaatimus tietyllä toleranssilla, eli yj = TTj ± yj; aj=l, jos on tarpeen saada suurin mahdollinen zj:n estimaatti.

Toimiva laatu tekninen järjestelmä on tunnusomaista lähtöparametrien vektorilla ja siten vektorilla Z=(zm,zm,…,zm). Siksi tavoitefunktio tulisi muodostaa tietyksi estimaattivektorin funktioksi u(Z). Jos esimerkiksi vain sen lähtöparametrin varastoa pidetään tavoitefunktiona, joka tietyssä pisteessä X on huonoin TOR:n vaatimusten täyttämisen kannalta,

missä m on terveysmarginaalien lukumäärä.

Nyt on luonnollista asettaa ongelmaksi valita X:lle sellainen hakustrategia, joka maksimoisi reservien minimin, ts.

jossa XD on haettava alue.

Optimointikriteeriä, jossa on tavoitefunktio (2.6), kutsutaan maksimikriteeriksi.

Tilastolliset kriteerit. Tilastollisten kriteerien mukaisella optimoinnilla pyritään saavuttamaan maksimitodennäköisyys P-suorituskyky. Tätä todennäköisyyttä pidetään tavoitefunktiona. Sitten meillä on tehtävä

Ohjattujen ja lähtöparametrien luokitus. Ohjattujen parametrien tila on metrinen. Siksi valittaessa hakuvaiheiden suuntia ja arvoja on tarpeen ottaa käyttöön yksi tai toinen normi, joka tunnistetaan kahden pisteen välisellä etäisyydellä. Jälkimmäinen olettaa, että kaikilla ohjatuilla parametreilla on sama ulottuvuus tai ne ovat mitoimattomia.

mahdollista eri tavoilla säännöstely. Esimerkkinä harkitaan logaritmisen normalisoinnin menetelmää, jonka etuna on siirtyminen parametrien absoluuttisista lisäyksistä suhteellisiin. Siinä tapaus i ohjattu parametri ui muunnetaan dimensiottomaksi xi:ksi seuraavasti:

missä oi on kerroin, joka on numeerisesti yhtä suuri kuin jokin parametrista ui.

Tuotosparametrien normalisointi voidaan suorittaa painokertoimilla, kuten additiivinen kriteeri, tai siirtymällä yj:stä työkykymarginaaleihin zj kohdan (2.5) mukaisesti.

Kuljetusongelman matemaattinen muotoilu koostuu optimaalisen suunnitelman määrittämisestä jonkin homogeenisen lastin kuljetukselle. T lähtöpisteet A 1 , A 2 , …, A T V P kohteet SISÄÄN 1 , SISÄÄN 2 , …, SISÄÄN P . Tällöin optimikriteerinä pidetään yleensä joko koko lastin kuljetuskustannuksia tai sen toimitusajan vähimmäisaikaa. Tarkastellaanpa kuljetusongelmaa, jonka optimikriteerinä on koko lastin kuljetuksen vähimmäiskustannukset.

Merkitse:

c ij – rahtiyksikön kuljetuksen tariffit i-lähtöpaikka j- kohde,

a i - rahtivarastot sisään i- lähtöpaikka,

b j – rahtitarpeet sisään j- m määränpää,

x ij – rahtiyksiköiden määrä, josta kuljetetaan i-lähtöpaikka j-kohde.

Sitten tehtävän matemaattinen muotoilu koostuu funktion vähimmäisarvon määrittämisestä: (6.1)

olosuhteissa
(6.2)

(6.3)

Mikä tahansa ei-negatiivinen järjestelmien ratkaisu lineaariset yhtälöt(6.2) ja (6.3) määritellään matriisin avulla X=(x ij ) , kutsutaan kuljetustehtäväsuunnitelmaksi.

Suunnitelma X*=(x*ij) , jossa funktio (6.1) saa minimiarvonsa, kutsutaan kuljetusongelman optimisuunnitelmaksi.

Yleensä kuljetustehtävän lähtötiedot tallennetaan taulukon muodossa.

Perustason määrittämiseen on useita menetelmiä: luoteiskulmamenetelmä, edullisin menetelmä, Vogel-approksimaatiomenetelmä jne.

Luoteiskulmamenetelmä

Suurin sallittu kuljetus syötetään taulukon luoteisimpaan soluun, kun taas joko koko lasti viedään asemalta A 1 ja kaikki muut ensimmäisen rivin solut on yliviivattu tai ensimmäisen kuluttajan tarpeet SISÄÄN 1 ovat täysin tyytyväisiä, sitten kaikki ensimmäisen sarakkeen solut on yliviivattu. Sen jälkeen luoteisimmasta solusta tulee solu A 1 SISÄÄN 2 tai SISÄÄN 2 A 1 . Algoritmi jatkuu, kunnes taulukko on täytetty. Haitat - kuljetuskustannuksia ei oteta huomioon, ja suunnitelma on kaukana optimaalisesta.

Halvimpien kustannusten menetelmä

Menetelmässä otetaan jossain määrin huomioon kuljetuskustannukset ja se rakennetaan seuraavasti: harkitaan matriisi ja löydetään halvimman kustannustason solu, joka täytetään suurimmalla sallitulla kuljetuksella. Useimmissa tapauksissa tämä menetelmä antaa suunnitelman lähellä optimaalista.

Vogelin approksimaatiomenetelmä

Jokaisessa iteraatiossa, kaikissa sarakkeissa ja kaikissa riveissä, löydetään ero kahden niihin tallennetun vähimmäishinnan välillä. Nämä erot kirjataan ongelman ehtojen taulukkoon erityisesti tätä tarkoitusta varten osoitetulle riville ja sarakkeelle. Valitse näistä eroista minimi. Rivillä tai sarakkeella, jota tämä ero vastaa, määritetään vähimmäistariffi.

Laajalti käytetty menetelmä kuljetusongelmien ratkaisemiseksi on potentiaalien menetelmä.

Tämän menetelmän avulla voit arvioida alkuperäisen vertailuratkaisun ja löytää optimaalisen ratkaisun peräkkäisen parantamisen menetelmällä.

Lause 1. Jos perussuunnitelma X=(x ij ) on optimaalinen, on olemassa järjestelmä ( t+p) potentiaalisiksi kutsuttuja lukuja U i , V j, niin että:

U i + V j =C ij , x:lle ij >0 (perusmuuttujat);

U i + V j =C ij , x:lle ij =0 (vapaat muuttujat).

Näin ollen, jotta voidaan tarkistaa alkuperäisen optimaalisen suunnitelman optimaalisuus, seuraavat ehdot on täytettävä:

kunkin käytössä olevan solun osalta potentiaalien summa on yhtä suuri kuin rahtiyksikön kuljetuskustannukset tässä solussa:

U i + V j =C ij

kunkin vapaan solun osalta potentiaalien summa on pienempi tai yhtä suuri kuin rahtiyksikön kuljetuskustannukset tässä solussa:

U i + V j £ KANSSA ij

Lause 2. Jokaisella suljetulla kuljetusongelmalla on ratkaisu, joka saavutetaan potentiaalimenetelmän äärellisessä määrässä vaiheita.

Syklin rakentaminen ja lastin uudelleenjaon määrän määrittäminen.

Siirtotaulukon sykli on polyline, jonka kärjet soluissa ja reunoissa sijaitsevat matriisin riveillä tai sarakkeilla ja joka täyttää kaksi vaatimusta:

Katkoviiva on kytkettävä, ts. mistä tahansa sen kärjestä pääsee toiseen kärkeen liikkumalla reunoja pitkin;

täsmälleen kaksi reunaa suppenee syklin jokaisessa kärjessä - toinen riviä pitkin, toinen saraketta pitkin.

Ilmainen laskentajakso Solu on sellainen sykli, jonka yksi kärjeistä on vapaassa solussa ja loput perussoluissa.

Annamme esimerkkejä joistakin sykleistä.

Lause 3. Kuljetustaulukon jokaista vapaata solua kohden on yksi uudelleenlaskentajakso.

Potentiaalinen menetelmäalgoritmi

Määritetään jokainen asema A i potentiaalia Ja i, ja jokainen asema SISÄÄN j potentiaalia v j. Voit tehdä tämän jokaiselle täytetylle solulle X ij ≠0 kirjoittaa yhtälö Ja i + v j = kanssa ij . Annetaan Ja 1 =1 (mikä tahansa muu arvo on mahdollinen) ja etsi kaikki muut mahdollisuudet.

Tarkistetaan löydetyn perussuunnitelman optimaalisuus. Tätä varten laskemme vapaiden solujen potentiaalien summan. Jos tämä summa on pienempi kuin kuljetuskustannukset Kanssa ij tässä solussa, niin optimaalinen ratkaisu löytyy. Jos enemmän, tässä solussa on rikkomus, joka on yhtä suuri kuin tämän summan ja kuljetuskustannusten välinen ero. Etsi kaikki tällaiset rikkomukset (kirjoitamme ne samoihin soluihin oikeassa alakulmassa). Valitaan näistä rikkomuksista suurin ja muodostetaan vapaa solujen uudelleenlaskentasykli, joka alkaa merkitystä solusta, jolla on suurin rikkomus.

3. Uudelleenlaskentajakso alkaa vapaasta solusta, johon laitetaan plusmerkki, ja loput solut ovat varattuja. Merkit näissä soluissa vuorottelevat. Valitsemme pienimmän kuljetuksista soluissa, joissa on miinusmerkki. Sitten lisätään tämä kuljetus kuljetuksiin plusmerkillä ja vähennetään kuljetuksista miinusmerkillä. Saamme uuden optimaalisen ratkaisun. Tarkistamme sen optimaalisuuden.

4. Uusien potentiaalien osalta tarkistamme optimaalisuusehdon. Jos optimaalisuusehdot täyttyvät, saadaan optimaalinen ratkaisu, jos ei, niin jatketaan optimaalisen ratkaisun etsintää potentiaalimenetelmällä.

Esimerkki 7.1. Neljä tämän talousalueen yritystä käyttää kolmenlaisia raaka-aineita tuotteiden valmistukseen. Kunkin yrityksen raaka-ainetarve on vastaavasti 120, 50, 190 ja 110 yksikköä. Raaka-aineet on keskitetty kolmeen vastaanottopaikkaan ja varastot vastaavat 160, 140 ja 170 yksikköä. Raaka-aineet voidaan toimittaa jokaiselle yritykselle mistä tahansa vastaanottopisteestä. Rahtihinnat ovat tunnettuja arvoja ja ne annetaan matriisin avulla
.

Laadi kuljetussuunnitelma, jossa kuljetuksen kokonaiskustannukset ovat minimaaliset.

Ratkaisu:

suljettu tehtävä.

Tehdään ensimmäinen suunnitelma kuljetusongelmasta luoteiskulmamenetelmällä. Aloitetaan taulukon solujen täyttäminen vasemmasta yläreunasta.

S 1 \u003d 120 7 + 40 8 + 10 5 + 130 9 + 60 3 + 110 6 \u003d 3120

Tehdään ensimmäinen suunnitelma minimikustannusmenetelmällä. Täytämme solut minimaalisilla tariffeilla.

S 2 \u003d 160 1 + 120 4 + 20 8 + 50 2 + 30 3 + 90 6 \u003d 1530

Tällaisen kuljetussuunnitelman hinta on lähes kaksi kertaa pienempi. Aloitetaan ongelman ratkaiseminen tällä suunnitelmalla. Tarkistamme sen optimaalisuuden. Esitetään potentiaalit α i – vastaavasti lähdöt, β j – vastaavasti määränpäät. Miehitettyjen solujen perusteella muodostamme yhtälöjärjestelmän α i + β j =c ij:

Taulukon vapaille soluille tarkistamme optimaalisuuskriteerin

Teemme eroja

Suunnitelma ei ole optimaalinen, koska arvio on myönteinen
Rakennetaan siitä uudelleenlaskentasykli. Tämä on katkoviiva linkkejä, jotka sijaitsevat tiukasti pysty- tai vaakasuunnassa, ja kärjet ovat varatuissa soluissa. Laita huonoon soluun merkki (+). Muissa pisteissä merkit vuorottelevat. Valitse negatiivisista pisteistä pienin luku ja siirrä sitä syklin ympäri. Siirretty uuteen perussuunnitelmaan.

S 3 \u003d 70 1 + 90 2 + 120 4 + 20 8 + 50 2 + 120 3 \u003d 1350

Kuljetuskustannukset ovat pienemmät, ts. suunnitelmaa on paranneltu. Tarkistetaan nyt uusi suunnitelma optimaalisuuden vuoksi. Miehitettyjen solujen mukaan:

Ilmaiset solut:

Suunnitelma ei ole optimaalinen, koska arvio on myönteinen
Rakennamme uudelleenlaskentasyklin ja siirrymme uuteen suunnitelmaan.

S 4 \u003d 50 1 + 110 2 + 120 4 + 20 5 + 30 2 + 140 3 \u003d 1330

Tarkistamme uuden suunnitelman optimaalisen.

Miehitettyjen solujen mukaan:

Ilmaiset solut:

Optimaalisuuskriteeri täyttyy, eli viimeinen suunnitelma on optimaalinen.

Vastaus:

Kuljetusongelmaa ratkaistaessa optimaalisuuskriteerin valinta on tärkeä. Kuten tiedät, arvio taloudellinen tehokkuus Likimääräinen suunnitelma voidaan määrittää yhdellä tai toisella kriteerillä, joka on suunnitelman laskemisen perusta. Tämä kriteeri on taloudellinen indikaattori, joka kuvaa suunnitelman laatua. Toistaiseksi ei ole olemassa yhtä yleisesti hyväksyttyä kriteeriä, joka ottaisi kattavasti huomioon taloudelliset tekijät. Kuljetusongelmaa ratkaistaessa optimikriteerinä käytetään eri tapauksissa seuraavia indikaattoreita:

1) Kuljetustyön määrä (kriteeri - etäisyys t / km). Vähimmäiskilometrimäärästä on hyötyä matkasuunnitelmien arvioinnissa, koska matkan pituus määritetään helposti ja tarkasti mihin tahansa suuntaan. Siksi kriteeri ei pysty ratkaisemaan monia liikennemuotoja koskevia liikenneongelmia. Sitä käytetään menestyksekkäästi tieliikenteen kuljetusongelmien ratkaisemiseen. Kun kehitetään optimaalisia järjestelmiä homogeenisten tavaroiden kuljettamiseen autoilla.

2) Tavaroiden kuljetuksen tariffi (kriteeri - kuljetusmaksujen tariffit). Mahdollistaa kuljetusjärjestelmän, joka on paras yrityksen itsekannattavien indikaattoreiden kannalta. Kaikki lisämaksut sekä nykyiset syöttötariffit vaikeuttavat sen käyttöä.

3) Tavaroiden kuljetuksen käyttökustannukset (kriteeri - käyttökustannusten hinta). Kuvaa tarkemmin liikenteen taloudellisuutta erilaisia tyyppejä kuljetus. Voit tehdä järkeviä johtopäätöksiä kuljetusmuodosta toiseen siirtymisen toteutettavuudesta.

4) Tavaroiden toimitusehdot (kriteeri - ajan hinta).

5) Pienemmät kustannukset (ottaen huomioon käyttökustannukset, riippuen liikkuvan kaluston liikkeen koosta ja pääomasijoituksesta).

6) Pienemmät kustannukset (ottaen huomioon liikkuvan kaluston tilojen rakentamiseen liittyvien pääomainvestointien täydet käyttökustannukset).

missä on käyttökustannukset,

Arvioitu investointien tehokkuussuhde,

Pääomainvestoinnit per rahtitonni koko osuudella,

T - matka-aika,

C - yhden rahtitonnin hinta.

Mahdollistaa kuljetussuunnitelmien eri vaihtoehtojen järkeistämisen arvioinnin täydellisemmin, ja se ilmaisee melko täydellisesti useiden taloudellisten tekijöiden määrällisen ja samanaikaisen vaikutuksen.

Tarkastellaanpa kuljetusongelmaa, jonka optimikriteerinä on koko lastin kuljetuksen vähimmäiskustannukset. Merkitään rahtiyksikön kuljetuksen tariffeilla i:nnestä lähtöpisteestä j:s kohde määräpaikka, kautta - rahtivarastot i. kappale lähtöpisteen kautta on j:nnen määränpään rahtikysyntä ja lävitse i:nnestä lähtöpisteestä j:nneen määränpäähän kuljetettujen rahtiyksikköjen määrä. Sitten tehtävän matemaattinen muotoilu koostuu funktion minimiarvon määrittämisestä

olosuhteissa

(2)

(3)

(4)

Koska muuttujat täyttää lineaariset yhtälöt (2) ja (3) ja ei-negatiivisuusehto (4), sitten olemassa olevan lastin vienti kaikista lähtöpisteistä, toimitus vaadittava määrä lähetys kuhunkin kohteeseen, samoin kuin palautuslähetykset ovat poissuljettuja.

Siten T-ongelma on LP-ongelma m*n muuttujien lukumäärä ja m+n rajoitusten määrä - tasa-arvot.

Ilmeisesti rahdin kokonaissaatavuus tavarantoimittajilta on yhtä suuri kuin , ja kokonaisrahdin tarve kohteissa on yhtä suuri kuin yksikköä. Jos rahdin kokonaiskysyntä kohteissa on yhtä suuri kuin lähtöpisteen rahtikanta, ts.

niin tällaisen kuljetusongelman mallia kutsutaan suljettu tai tasapainoinen.

On monia käytännön ongelmia, joissa tasapainoehto ei täyty. Tällaisia malleja kutsutaan avata. Kaksi mahdollista tapausta:

Ensimmäisessä tapauksessa kysynnän täyttäminen on mahdotonta..

Tällainen ongelma voidaan pelkistää tavalliseksi kuljetusongelmaksi seuraavasti. Jos kysyntä ylittää varaston, eli kuvitteellinen ( m+1) - rahtivaraston lähtöpiste ja tariffien oletetaan olevan nolla:

Sitten se on tarpeen minimoida

olosuhteissa

Harkitse nyt toista tapausta.

Vastaavasti , kuvitteelliselle ( n+1) – th kohde, jossa on tarvetta ja vastaavien tariffien katsotaan olevan nolla:

Sitten vastaava T-tehtävä voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Minimoida

olosuhteissa:

Tämä vähentää ongelman tavalliseksi kuljetusongelmaksi, jonka optimaalisesta suunnitelmasta saadaan alkuperäisen ongelman optimaalinen suunnitelma.

Tulevaisuudessa harkitsemme liikenneongelman suljettua mallia. Jos tietyn ongelman malli on avoin, niin edellä esitetystä edeten kirjoitetaan tehtävän ehtotaulukko uudelleen niin, että yhtälö (5) täyttyy.

Joissakin tapauksissa sinun on määritettävä, että tuotteita ei voida kuljettaa millään reitillä. Sitten kuljetuskustannukset näillä reiteillä asetetaan siten, että ne ylittävät mahdollisten kuljetusten korkeimmat kustannukset (jotta olisi kannattamatonta kuljettaa saavuttamattomilla reiteillä) - kun ongelma ratkaistaan minimiin. Maksimissaan asia on toisin päin.

Joskus on tarpeen ottaa huomioon, että kiinteitä toimitusmääriä koskevat sopimukset tehdään joidenkin lähetyspisteiden ja joidenkin kulutuspisteiden välillä, sitten on tarpeen jättää taatun toimitusmäärän ulkopuolelle jatkokäsittely. Tätä varten taattu toimitusmäärä vähennetään seuraavista arvoista:

vastaavan lähetyspisteen varastosta;

· kunkin kohteen tarpeista.

Esimerkki.

Neljä tämän talousalueen yritystä käyttää kolmenlaisia raaka-aineita tuotteiden valmistukseen. Kunkin yrityksen raaka-ainetarve on vastaavasti 120, 50, 190 ja 110 yksikköä. Raaka-aineet on keskitetty kolmeen vastaanottopaikkaan ja varastot vastaavat 160, 140 ja 170 yksikköä. Raaka-aineet voidaan toimittaa jokaiselle yritykselle mistä tahansa vastaanottopisteestä. Rahtihinnat ovat tunnettuja arvoja ja ne annetaan matriisin avulla

Laadi kuljetussuunnitelma, jossa kuljetuksen kokonaiskustannukset ovat minimaaliset.

Ratkaisu. Merkitään raaka-aineyksikköjen lukumäärällä, joka kuljetetaan i:nnestä vastaanottopisteestä j:nnelle yritykselle. Silloin edellytykset tarvittavien ja saatavilla olevien raaka-aineiden toimitukselle ja viennille varmistetaan täyttämällä seuraavat yhtäläisyydet:

(6)

Tällä suunnitelmalla kuljetus, kuljetuksen kokonaiskustannukset ovat

Siten tämän kuljetusongelman matemaattinen muotoilu koostuu sellaisen ei-negatiivisen ratkaisun löytämisestä lineaariyhtälöjärjestelmälle (6), jossa tavoitefunktio (7) saa minimiarvon.

Ratkaisu kuljetusongelmaan

Tärkeimmät vaiheet kuljetusongelman ratkaisemisessa:

1. Etsi ensimmäinen toteuttamiskelpoinen suunnitelma.

2. Valitse ei-perusmuuttujista se, joka otetaan kantaan. Jos kaikki ei-perusmuuttujat täyttävät optimaalisuusehdot, lopeta ratkaisu, muussa tapauksessa siirry seuraavaan. askel.

3. Valitse kannasta johdettava muuttuja, etsi uusi perusratkaisu. Palaa vaiheeseen 2.

Mikä tahansa matriisin määrittämä lineaaristen yhtälöjärjestelmien (2) ja (3) ei-negatiivinen ratkaisu , kutsutaan kuljetustehtäväsuunnitelmaksi. T-ongelman referenssi- (perus)suunnitelma on mikä tahansa sen toteuttamiskelpoisista perusratkaisuista.

Yleensä kuljetustehtävän lähtötiedot tallennetaan taulukon muodossa.

Matriisia C kutsutaan kuljetuskustannusmatriisiksi, matriisia X, joka täyttää T-ongelman (2) ja (3) ehdot, kutsutaan kuljetussuunnitelmaksi ja muuttujia kuljetukseksi. Suunnitelmaa, jossa tavoitefunktio on minimaalinen, kutsutaan optimaaliseksi.

Muuttujien määrä kuljetusongelmassa m lähtöpaikat ja n kohteet ovat yhtä suuria m*n, ja yhtälöiden lukumäärä järjestelmissä (2) ja (3) on m+n. Koska oletetaan, että ehto (5) täyttyy, lineaarisesti riippumattomien yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri m+n-1. Siksi kuljetustehtävän perussuunnitelmassa voi olla enintään m+n-1 nollasta poikkeavat tuntemattomat.

Jos referenssisuunnitelmassa nollasta poikkeavien komponenttien lukumäärä on täsmälleen yhtä suuri m+n-1, niin malli ei ole rappeutunut, ja jos vähemmän, niin rappeutunut.

Kuten missä tahansa lineaarisessa ohjelmointiongelmassa, kuljetusongelman optimaalinen suunnitelma on myös perussuunnitelma.

Hyväksytyn (viite)suunnitelman rakentaminen kuljetusongelmaan

Analogisesti muiden lineaarisen ohjelmoinnin ongelmien kanssa kuljetusongelman ratkaisu alkaa hyväksyttävän perussuunnitelman rakentamisesta. Alkuperäisten perussuunnitelmien laatimiseen T-ongelmalle on useita menetelmiä. Näistä yleisin luoteiskulmamenetelmä Ja minimielementtimenetelmä.

Yksinkertaisin tapa löytää se perustuu ns. luoteiskulmamenetelmään. Menetelmän ydin on kaikkien ensimmäisessä, toisessa jne. tuotantopisteessä saatavilla olevien varastojen peräkkäinen jakautuminen ensimmäisen, toisen jne. kulutuspisteen mukaan. Jokainen jakeluvaihe rajoittuu yritykseen tyhjentää varastot kokonaan seuraavassa tuotantopisteessä tai yritykseksi tyydyttää täysin tarpeet seuraavassa kulutuspisteessä. Jokaisella askeleella q nykyiset jakamattomat varaukset on ilmoitettu ja i (q ) ja nykyiset tyydyttämättömät tarpeet - b j (q ) . Hyväksyttävän alkusuunnitelman rakentaminen luoteiskulmamenetelmän mukaan alkaa kuljetuspöydän vasemmasta yläkulmasta, kun oletetaan a i (0) = a i, b j (0) = b j . Rivillä sijaitsevalle seuraavalle solulle i ja sarake j , otamme huomioon kohdistamattoman varaston arvot i -th tuotantopiste ja tyydyttämätön tarve j -. kulutuspiste, josta valitaan minimi ja määrätään kuljetusmääräksi näiden pisteiden välillä: x i, j =min(a i (q) , b j (q) ) . Tämän jälkeen kohdentamattoman varaston ja tyydyttämättömän kysynnän arvoja vastaavissa kohdissa vähennetään tällä määrällä:

a i (q+1) = a i (q) - x i, j, bj (q+1) = bj (q) - x i, j

Ilmeisesti jokaisessa vaiheessa vähintään yksi yhtäläisistä täyttyy: ja i (q+1) = 0 tai bj (q+1) = 0 . Jos ensimmäinen on totta, tämä tarkoittaa, että i:nnen tuotantopisteen koko varasto on käytetty loppuun ja on tarpeen edetä varaston jakeluun tuotantopisteessä i+1 , eli siirry seuraavaan soluun sarakkeen alapuolella. Jos b j (q+1) = 0, Tämä tarkoittaa, että tarvitaan j -th piste, jonka jälkeen seuraa siirtyminen rivin oikealla puolella olevaan soluun. Uudesta valitusta solusta tulee nykyinen, ja kaikki luetellut toiminnot toistetaan sille.

Hankintatilanteen ja tarpeiden tasapainon perusteella ei ole vaikeaa todistaa, että rajallisessa määrässä vaiheita saadaan hyväksyttävä suunnitelma. Saman ehdon nojalla algoritmin vaiheiden lukumäärä ei voi olla suurempi kuin m+n-1 , joten pysyy aina vapaana (nolla) mn-(m+n-1) soluja. Tästä syystä tuloksena oleva suunnitelma on perustavanlaatuinen. On mahdollista, että jossain välivaiheessa nykyinen kohdentamaton varasto on yhtä suuri kuin nykyinen täyttämätön tarve (a i (q) = b j (q)) . Tällöin siirtyminen seuraavaan soluun tapahtuu diagonaalisuunnassa (nykyiset tuotanto- ja kulutuspisteet muuttuvat samanaikaisesti), mikä tarkoittaa yhden nollasta poikkeavan komponentin "menetystä" suunnitelmassa tai toisin sanoen suunnitelman degeneroitumista. rakennettu suunnitelma.

Luoteiskulmamenetelmällä tehdyn hyväksyttävän suunnitelman piirre on, että siinä oleva tavoitefunktio saa arvon, joka on pääsääntöisesti kaukana optimaalisesta. Tämä johtuu siitä, että se ei ota arvoja huomioon c i , j . Tässä suhteessa käytännössä alkuperäisen suunnitelman saamiseksi käytetään toista menetelmää - minimielementtimenetelmä, jossa liikennemääriä jaettaessa alhaisimmat solut varataan ensin.

Esimerkki perustason löytämisestä

F = 14 x 11 + 28 x 12 + 21 x 13 + 28 x 14 + 10 x 21 + 17 x 22 + 15 x 23 + 24 x 24 + 14 x 31 + 30 x 32 + 25 x 33 + 21 x 34

Alkuperäinen suunnitelma on saatu luoteiskulmamenetelmällä. Ongelma on tasapainossa (suljettu).

pöytä 1

Tämän suunnitelman kuljetuskustannukset ovat: 1681:

F=14 *27 + 28* 0 + 21*0 + 28*0 + 10 *6 + 17 *13 + 15*1 + 24 *0 + 14 *0 + 30 *0 +25*26 + 21 *17 = 1681

Yleinen asetus kuljetustehtävä koostuu optimaalisen suunnitelman määrittämisestä jonkin homogeenisen lastin kuljetukselle T lähtöpisteet sisään P kohteet . Tällöin optimikriteerinä pidetään yleensä joko koko lastin kuljetuskustannuksia tai sen toimitusajan vähimmäisaikaa. Tarkastellaanpa kuljetusongelmaa, jonka optimikriteerinä on koko lastin kuljetuksen vähimmäiskustannukset. Merkitään rahtiyksikön kuljetuksen tariffeilla i-lähtöpaikka j-th määränpää, kautta - rahtivarastot sisään i-th lähtöpaikka, kautta – rahtitarpeet sisään j – m määränpäähän ja läpi – rahtiyksiköiden määrä, josta kuljetetaan i-lähtöpaikka j-kohde. Sitten tehtävän matemaattinen muotoilu koostuu funktion minimiarvon määrittämisestä

olosuhteissa

(64)

(65)

(66)

Koska muuttujat täyttävät yhtälöjärjestelmät (64) ja (65) ja ehdon ei-negatiivisuus(66), vaaditun rahtimäärän toimittaminen kuhunkin kohteeseen, olemassa olevan lastin poistaminen kaikista lähtöpaikoista varmistetaan, ja myös paluukuljetukset on suljettu pois.

Määritelmä 15.

Mikä tahansa matriisin määrittelemien lineaaristen yhtälöjärjestelmien (64) ja (65) ei-negatiivinen ratkaisu , kutsutaan suunnitelma kuljetustehtävä.

Määritelmä 16.

Suunnitelma , jossa funktio (63) ottaa minimiarvonsa, kutsutaan optimaalinen suunnitelma kuljetustehtävä.

Yleensä kuljetustehtävän alkutiedot kirjataan taulukkoon 21.

Taulukko 21

niin tällaisen kuljetusongelman mallia kutsutaan suljettu. Jos määritetty ehto ei täyty, kutsutaan kuljetusongelman mallia avata.

Lause 13.

Kuljetusongelman ratkeavuuden kannalta on välttämätöntä ja riittävää, että rahtivarastot lähtöpisteissä ovat yhtä suuret kuin kohteiden rahtitarpeet, eli että tasa-arvo on (67).

Jos varasto ylittää kysynnän, eli kuvitteellinen ( n+1) – th kohde, jossa on tarvetta ja vastaavien tariffien katsotaan olevan nolla: Tuloksena oleva ongelma on liikenneongelma, johon tasa-arvo (67) täyttyy.

Vastaavasti , kuvitteelliselle ( m+1) - rahtivaraston lähtöpiste ja tariffien oletetaan olevan nolla: Tämä vähentää ongelman tavalliseksi kuljetusongelmaksi, jonka optimaalisesta suunnitelmasta saadaan alkuperäisen ongelman optimaalinen suunnitelma. Tulevaisuudessa harkitsemme liikenneongelman suljettua mallia. Jos tietyn ongelman malli on avoin, niin edellä esitetystä edeten kirjoitetaan tehtävän ehtotaulukko uudelleen niin, että yhtälö (67) täyttyy.

Muuttujien määrä kuljetusongelmassa T lähtöpaikat ja P kohteet ovat yhtä suuria pe, ja yhtälöiden lukumäärä järjestelmissä (64) ja (65) on p+t . Koska oletetaan, että ehto (67) täyttyy, lineaarisesti riippumattomien yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri p+t – 1. Näin ollen kuljetustehtävän perussuunnitelmassa ei voi olla enempää kuin P + T – 1 nollasta poikkeava tuntematon.

Jos referenssisuunnitelmassa nollasta poikkeavien komponenttien lukumäärä on täsmälleen yhtä suuri P +t – 1, niin malli ei ole rappeutunut, ja jos vähemmän, niin rappeutunut.

Kuten missä tahansa, kuljetustehtävän optimaalinen suunnitelma on myös referenssisuunnitelma.

Optimaalisen suunnitelman määrittämiseksi kuljetusongelmalle voit käyttää yllä olevia menetelmiä.

Esimerkki 19.

Laadi kuljetussuunnitelma, jossa kuljetuksen kokonaiskustannukset ovat minimaaliset.

Ratkaisu. Merkitään raaka-aineiden yksiköiden lukumäärällä, josta kuljetetaan i- sen vastaanottamisesta j-th yritys. Silloin edellytykset tarvittavien ja saatavilla olevien raaka-aineiden toimitukselle ja viennille varmistetaan täyttämällä seuraavat yhtäläisyydet:

(68)

Tällä suunnitelmalla kuljetus, kuljetuksen kokonaiskustannukset ovat

Siten tämän kuljetusongelman matemaattinen muotoilu koostuu sellaisen ei-negatiivisen ratkaisun löytämisestä lineaariyhtälöjärjestelmälle (68), jossa tavoitefunktio (69) saa minimiarvon.

Ohjelma kuljetusongelman ratkaisemiseksi potentiaalisella menetelmällä

Kuljetusongelman yleinen lause on määrittää optimaalinen suunnitelma jonkin homogeenisen lastin kuljetukselle m lähtöpaikat (toimittajat) A 1 , A 2 , . . ., A m V n kulutuspisteet (kuluttajat) B 1 , B 2 , . . . B n niin, että:

Ota kaikki tavarat toimittajilta;

Täytä jokaisen kuluttajan kysyntä;

Varmista kaikkien tavaroiden kuljetuksen vähimmäiskokonaiskuljetuskustannukset.

Harkitse kuljetusongelmaa jonka optimaalisuuskriteeri on koko lastin vähimmäiskuljetuskustannukset.

Merkitse:

a i- lastin läsnäolo i -th lähtöpaikka;

bj- tämän lastin tarpeen arvo j th määränpää;

ij:n kanssa- rahtiyksikön kuljetuskustannukset i - lähtöpisteeseen j -th kulutuspiste (kuljetustariffi);

xij- kuljetetun lastin määrä i - lähtöpisteeseen j - määränpää, määränpää, xij ≥ 0.

Kuljetusongelman matemaattinen muotoilu koostuu sellaisen ei-negatiivisen ratkaisun löytämisestä lineaariyhtälöjärjestelmälle, jossa tavoitefunktio saa minimiarvon.

Kirjataan ylös kuljetusongelman matemaattinen malli.

On määritettävä matriisi ), joka täyttää seuraavat ehdot:

,
(5.1)

,
(5.2)

,
,
(5.3)

ja tuottaa tavoitefunktion vähimmäisarvon

L() =
(5.4)

Koska muuttujat täyttävät lineaarisen yhtälöjärjestelmän (5.1), (5.2) ja ei-negatiivisuusehdon, se varmistaa tarvittavan rahdin toimituksen jokaiselle kuluttajalle, olemassa olevan lastin viennin kaikilta toimittajilta ja sulkee pois myös paluukuljetuksen .

Määritelmä 1. Mitä tahansa matriisin ) määrittelemien lineaaristen yhtälöjärjestelmien (5.1) ja (5.2) ei-negatiivista ratkaisua kutsutaan voimassa oleva kuljetustehtäväsuunnitelma.

Määritelmä 2 . Suunnitelma ), jossa funktio (5.4) saa suurimman arvon, kutsutaan kuljetusongelman optimaaliseksi suunnitelmaksi.

Lause 1. Kuljetusongelman lineaarisen yhtälöjärjestelmän (5.1) ja (5.2) tuntemattomien kertoimista koostuvan matriisin järjestys on yhtä pienempi kuin yhtälöiden lukumäärä, ts. on yhtä kuin (m + n - 1).

Siten lineaarisesti riippumattomien yhtälöiden lukumäärä on (m + n - 1), ne muodostavat perustan ja niitä vastaavat muuttujat ovat perusarvoja.

Määritelmä 3. Hyväksyttävää kuljetustehtävän suunnitelmaa, jossa ei ole enempää kuin (m + n - 1) nollasta poikkeavia arvoja, kutsutaan perus- tai referenssisuunnitelmaksi.

Määritelmä 4. Jos muuttujien nollasta poikkeavien arvojen määrä vertailumallissa on täsmälleen (m + n – 1), niin malli on ei-degeneroitunut, ja jos se on pienempi, se on rappeutunut.

Lause 2. Kuljetusongelman ratkeavuuden kannalta on välttämätöntä ja riittävää, että rahdin kokonaisvarastot lähtöpisteissä olivat yhtä suuret kuin määräpaikkojen kokonaistarpeet, ts.

Määritelmä 5. Kuljetusongelmamallia, joka täyttää ehdon (5.5), kutsutaan suljetuksi. Jos määritetty ehto ei täyty, malli on auki.

Optimaalisen suunnitelman saamiseksi kuljetusongelman avoin malli on pelkistettävä suljetuksi malliksi.

Jos varasto ylittää kysynnän, ts. > , fiktiivinen (n+ 1) –. kohde syötetään tarpeella b n +1 = − , ja vastaavien tariffien katsotaan olevan nolla: i:llä, n+:lla 1 = 0

Jos< , то вводится фиктивный (m + 1) –ый пункт отправления с потребностью olen +1 = − ja tariffit M+:lla 1, j = 0

Harkitse yhtä menetelmistä kuljetusongelman ensimmäisen perussuunnitelman rakentamiseksi - minimikustannusmenetelmää tai yksikkökustannusmatriisin parasta elementtiä.

Määritelmä 6. Yksikkökustannusten (tariffien) matriisin parasta elementtiä kutsutaan alimmaksi tariffiksi, jos tehtävä on asetettu tavoitefunktion minimiin, korkeimmaksi tariffiksi, jos tehtävä on asetettu maksimiin.

Algoritmi ensimmäisen referenssisuunnitelman rakentamiseksi.

1. Yksikkökustannusmatriisista löydämme parhaan tariffin.

2. Jakelutaulukon solu valitulla tariffilla täytetään suurimmalla mahdollisella lastimäärällä, ottaen huomioon rivin ja sarakkeen rajoitukset. Tällöin joko koko lasti viedään toimittajalta tai kuluttajan tarve tyydytetään täysin. Taulukon rivi tai sarake poistetaan käsittelystä, eikä se osallistu jatkojakeluun.

3. Jäljellä olevista tariffeista valitsemme jälleen parhaan ja prosessi jatkuu, kunnes koko kuorma on jaettu.

Jos kuljetustehtävämalli on avoin ja siinä on mukana kuvitteellinen toimittaja tai kuluttaja, niin jakelu suoritetaan ensin todellisille toimittajille ja kuluttajille ja lopuksi kohdentamaton lasti suunnataan kuvitteelliselle toimittajalle tai kuvitteelliselle kuluttajalle.

Kuljetustehtävän ensimmäisen perussuunnitelman edelleen parantaminen ja optimaalisen suunnitelman saaminen tapahtuu potentiaalimenetelmällä.

Lause 3. Kuljetusongelman suunnitelma ) on optimaalinen, jos on olemassa lukujen u i ja v j (kutsutaan potentiaaliksi) järjestelmä (m + n), joka täyttää ehdot:

(5.6)

(5.7)

Potentiaalit u i ja v j ovat kaksoisongelman muuttujia, jotka on muodostettu alkuperäiseen kuljetusongelmaan ja kuvaavat lastin yksikön estimaattia lähtö- ja määräpaikassa, vastaavasti.

Merkitse: ) taulukon vapaan (varaamattoman) solun estimaattia.

Määritelmä 7. Kuljetusongelman viitesuunnitelma on optimaalinen, jos kaikki jakautumistaulukon vapaiden solujen estimaatit (tehtävä on asetettu minimiin).

Potentiaalinen menetelmäalgoritmi

1. Ensimmäisen perussuunnitelman rakentaminen kuljetusongelma vähimmäiskustannusmenetelmällä.

2. Degeneraation tarkistus .

Potentiaalit voidaan laskea vain suunnitelmalle, joka ei ole rappeutunut. Jos viitesuunnitelman varattujen solujen määrä (perusmuuttujien määrä) on pienempi kuin (m+n−1), lisätään nolla johonkin taulukon vapaista soluista, jotta kokonaismäärä miehitetyistä soluista tuli yhtä suuri (m+n−1). Nolla syötetään soluun kanssa paras korko Se, joka kuuluu riviin tai sarakkeeseen. Yliviivattu samanaikaisesti ensimmäistä vertailusuunnitelmaa laadittaessa. Tässä tapauksessa taulukon solu, joka on kuvitteellisesti nollalla, ei saa muodostaa suljettua suorakaiteen muotoista ääriviivaa taulukon muiden käytössä olevien solujen kanssa.

3. Tavoitefunktion arvon laskeminen(5.4) laskemalla yhteen tariffien (yksikkökustannusten) tulot kuljetetun lastin määrällä taulukon kaikkien käytössä olevien solujen osalta.

4. Suunnitelman optimaalisuuden tarkistaminen.

Määritämme potentiaalit. Jokaiselle varatulle solulle kirjoitetaan yhtälö , jolloin saadaan (m + n−1) yhtälöjärjestelmä, jossa on (m + n) muuttujia.

Koska muuttujien määrä on suurempi kuin yhtälöiden lukumäärä, tuloksena olevaa järjestelmää ei ole määritelty ja sillä on ääretön määrä ratkaisuja. Siksi yhdelle tuntemattomista suureista annetaan mielivaltainen arvo. Laskelmien yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että loput potentiaalit määritetään yksiselitteisesti ja niiden arvot syötetään jakaumataulukon lisäriville ja -sarakkeelle.

Jokaiselle vapaalle solulle määritämme arviot .

Jos kaikki (tehtävä on ratkaistu tavoitefunktion minimille), niin optimaalinen suunnitelma löytyy. Jos ainakin yksi vapaan solun estimaatti ei täytä optimiehtoa, niin suunnitelmaa on parannettava jakamalla kuorma uudelleen.

5. Uuden peruslinjan rakentaminen.

Kaikista vapaiden solujen positiivisista arvioista valitsemme suurimman (tehtävä on asetettu minimiin); kaikista negatiivisista - absoluuttisen arvon suurin (tehtävä on asetettu maksimiin). Korkeinta pistettä vastaava solu tulee täyttää, ts. lähetä sille kuorma. Valittua solua täytettäessä on tarpeen muuttaa useisiin muihin varattuihin soluihin tallennettujen ja ns. täytettävän syklin yhteydessä olevien tarvikkeiden määrää.

Sykli tai suorakaiteen muotoinen ääriviiva kuljetustehtävän jakautumistaulukossa on katkoviiva, jonka kärjet sijaitsevat taulukon miehitetyissä soluissa ja linkit rivejä ja sarakkeita pitkin ja syklin jokaisessa kärjessä on ovat täsmälleen kaksi linkkiä, joista toinen on rivillä ja toinen sarakkeessa . Jos syklin muodostava moniviiva leikkaa, leikkauspisteet eivät ole kärkipisteitä. Jokaiselle vapaalle solulle voidaan rakentaa yksi sykli.

Syklin kärkipisteille, alkaen latausta varten valitussa solussa sijaitsevasta kärjestä, annamme vuorotellen merkit "+" ja "−". Kutsumme näitä soluja plus ja miinus.

Miinussoluissa olevista lastimääristä valitaan pienin ja merkitään se θ:lla. Jaamme θ:n arvon uudelleen ääriviivaa pitkin lisäämällä θ:n vastaaviin rahtimääriin plus-soluissa ja vähentämällä θ:n taulukon miinussolujen lastitilavuuksista. Tämän seurauksena vapaana ollut ja ladattavaksi valittu solu varautuu ja yksi ääriviivan varatuista soluista vapautuu.

Tuloksena olevan perussuunnitelman optimaalisuus tarkistetaan, ts. Palataan algoritmin neljänteen vaiheeseen.

Huomautukset

1. Jos rakennetun syklin miinussoluissa on kaksi tai useampi identtinen minimiarvo, ei yksi, vaan kaksi tai useampi solu vapautetaan lastimäärien uudelleenjakamisen aikana. Tässä tapauksessa suunnitelma rappeutuu. Ratkaisun jatkamiseksi on tarpeen varata yksi tai useampi taulukon samanaikaisesti vapautettu solu nollalla, ja etusija annetaan soluille, joilla on paras korko. Nollat lisätään siten, että uudessa perussuunnitelmassa varattujen solujen (perusmuuttujien) määrä on täsmälleen (m + n−1).

2. Jos siirtotehtävän optimaalisessa suunnitelmassa jonkin vapaan solun estimaatti on nolla ) , niin ongelmalla on joukko optimaalisia suunnitelmia. Solulle, jonka pistemäärä on nolla, voit rakentaa syklin ja jakaa kuorman uudelleen. Tämän seurauksena tuloksena oleva suunnitelma on myös optimaalinen ja sillä on sama tavoitefunktion arvo.

3. Tavoitefunktion arvo kussakin iteraatiossa voidaan laskea seuraavasti:

(tehtävä on asetettu minimiin),

(tehtävä on asetettu maksimiin),

missä on ääriviivaa pitkin siirretyn lastin tilavuuden arvo;

Vapaan häkin, johon lasti lähetetään, arviointi siirryttäessä uuteen vertailusuunnitelmaan;

− tavoitefunktion arvo k. iteraatiossa;

− tavoitefunktion arvo edellisessä iteraatiossa.

Esimerkki

Tukkukannan kolmella varastolla on homogeeninen lasti 40, 80 ja 80 yksikön määrissä. Tämä lasti on kuljetettava neljään myymälään, joista kuhunkin on saatava 70, 20, 60 ja 60 yksikköä. Yksikkötoimituskulut (tariffit) jokaisesta varastosta ) kaikkiin myymälöihin ) annetaan matriisin avulla .

Laadi suunnitelma homogeenisen lastin kuljetuksesta mahdollisimman pienin kuljetuskustannuksin (ehdolliset numerot).

Ratkaisu.

1. Tarkastetaan ongelman ratkaisemisen välttämätön ja riittävä ehto:

40+80+80 = 200,

70+20+60+60 = 210.

Kuten näette, rahdin kokonaiskysyntä ylittää sen varastot tukkukannan varastoissa. Näin ollen kuljetusongelman malli on avoin eikä sillä ole ratkaisua alkuperäisessä muodossaan. Suljetun mallin saamiseksi otamme käyttöön ylimääräisen (fiktiivisen) varaston A 4, jonka rahtivarasto on yhtä suuri A 4 = 210 - 200 = 10 yksikköä oletetaan, että rahtiyksikön kuljetuksen varastosta A 4 kaikkiin myymälöihin tariffit ovat nolla.

Syötetään kaikki alkutiedot taulukkoon 7.

Osakkeet

KOHDASSA 1

KLO 2

KLO 3

KLO 4

A 1

A 3

Tarpeita

2. Ensimmäisen perussuunnitelman rakentaminen minimikustannusmenetelmällä.

Tariffeista C 14 =1 on pienin tai paras. Lähetämme soluun A 1 B 4 suurimman mahdollisen kuorman min(60,40) = 40. x 14 = 40. Varastosta A 1 kaikki rahti vietiin ulos, mutta neljännen varaston tarve on 20 yksikköä tyydyttämätön. rivi A1 on huomioimatta.

Muiden tariffien joukossa minimielementti on C 23 = 2. Solussa A 2 B 3 lähetämme lastin min (60,80) = 60. Tässä tapauksessa sarake B 3 on huomioimatta, ja 20 yksikköä ei otettu pois varastosta A 2.

Muista elementeistä minimi C 22 \u003d 3. Solussa A 2 B 2 lähetämme kuorman määränä min (20,20) \u003d 20. Tässä tapauksessa sarake A 2 ja sarake B 2 on samanaikaisesti yliviivattu.

Valitsemme minimielementin C 31 = 4. Solussa A 3 B 1 lähetämme kuorman, joka on yhtä suuri kuin min(70.80) = 70. Tässä tapauksessa sarake B 1 ei ole huomioitu, eikä 10 yksikköä viedä varastosta A 3. Jäljelle jäävä lasti kolmannesta varastosta lähetetään loveen A 3 B 4, x 34 = 10. Neljännen myymälän tarvetta ei tyydytetä 10 yksiköllä. lähetä kuvitteellisesta toimittajasta - varasto A 4 10 kpl. lasti häkissä A 4 B 4, x 44 = 10.

Tuloksena saatiin ensimmäinen lähtökohta, joka on voimassa, koska kaikki tavarat on poistettu varastoista ja kaikkien myymälöiden tarpeet on täytetty.

3. Degeneraation tarkistus

Ensimmäisessä viitesuunnitelmassa varattujen solujen tai perusmuuttujien määrä on kuusi. kuljetusongelman suunnitelma on rappeutunut, koska perusmuuttujien määrä ei-degeneroituneessa suunnitelmassa on m + n - 1 = 4 + 4 - 1 = 7. Ongelman ratkaisemiseksi on perussuunnitelmaa täydennettävä kuvitteellisen kuljetuksen käyttöönotto, ts. vie yksi vapaista soluista nollalla.

Ensimmäistä referenssisuunnitelmaa rakennettaessa rivi A 2 ja sarake B 2 yliviivattiin samanaikaisesti, joten suunnitelma huononi. Fiktiivisen kuljetuksen oikeutta vaativat rivin A 2 ja sarakkeen B 2 vapaat solut, joilla on vähimmäistariffi ja jotka eivät muodosta suljettua suorakaiteen muotoista ääriviivaa varattujen solujen kanssa. Nämä solut ovat A2B4 ja A3B2. Nolla lähetetään soluun A 2 B 4.

4. Tavoitefunktion arvon laskeminen

Ensimmäisen vertailusuunnitelman tavoitefunktion arvo määritetään laskemalla yhteen kuljetetun lastin määrän tariffien tulot taulukon kaikkien käytössä olevien solujen osalta.

L(X 1) = 4∙70 + 3∙20 + 2∙60 + 1∙40 + 3∙0 + 6∙10 + 0∙10 = 560 (tuhatta ruplaa).

5. Optimaalisen tilan tarkistaminen

Laske taulukon varattujen solujen potentiaalit ehdosta: (Koska tuntemattomien potentiaalien määrä on suurempi kuin yhtälöiden lukumäärä (m + n > m + n - 1), niin yksi potentiaalista otetaan nollaksi. Olkoon . Sitten voidaan kirjoittaa miehitetyille soluille systeemi. yhtälöistä:

Olettaen, että saamme , , , ,

Lasketut potentiaalit syötetään taulukkoon 7. Lasketaan vapaiden solujen estimaatit.

Ensimmäinen vertailusuunnitelma ei ole optimaalinen, koska vapaista soluista ja . Valitsemme vapaan solun suurimman positiivisen arvion - .

6. Uuden peruslinjan rakentaminen

Solulle A 3 B 2 rakennamme suorakaiteen muotoisen suljetun piirin 0taulukko 7) ja jaamme kuorman uudelleen piirille. Ääriviivan kärkipisteille, alkaen vapaassa solussa A 3 B 2 sijaitsevasta kärjestä, annamme vuorotellen merkit "+" ja "-".

Miinussolujen lastimääristä valitaan pienin, ts. θ = min(20,10) = 10. Lisäämme arvon θ = 10 plussolujen lastimääriin, vähennämme suljetun silmukan miinussolujen lastimääristä. Tuloksena saamme uuden vertailusuunnitelman, joka näkyy taulukossa 8.

Osakkeet

KOHDASSA 1

KLO 2

KLO 3

KLO 4

A 1

A 3

3 10

Tarpeita

Kuljetusongelman toinen viitesuunnitelma ei ole rappeutunut, koska käytössä olevien solujen määrä on 7.

L (X 2) \u003d L (X 1) - θ ∙ \u003d 560 - 10 ∙ 3 \u003d 530 (tuhatta ruplaa).

Tarkistamme tämän suunnitelman optimaalisuuden. Löydämme jälleen toimittajien ja kuluttajien mahdollisuudet. Tätä varten laadimme seuraavan yhtälöjärjestelmän miehitetyille soluille.