Ensimmäisessä osassa tarkastelimme teoreettista materiaalia, substituutiomenetelmää sekä menetelmää systeemiyhtälöiden termikohtaiseen yhteenlaskuun. Kaikille tämän sivun kautta sivustolle tulleille suosittelen ensimmäisen osan lukemista. Ehkä joidenkin vierailijoiden mielestä materiaali on liian yksinkertaista, mutta lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisen aikana tein sarjan erittäin tärkeät muistiinpanot ja johtopäätökset matemaattisten ongelmien ratkaisusta yleensä.
Ja nyt analysoimme Cramerin sääntöä sekä lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisua käänteismatriisilla (matriisimenetelmällä). Kaikki materiaalit esitetään yksinkertaisesti, yksityiskohtaisesti ja selkeästi, melkein kaikki lukijat voivat oppia ratkaisemaan järjestelmiä yllä olevilla menetelmillä.
Tarkastellaan ensin yksityiskohtaisesti Cramerin sääntöä kahden lineaarisen yhtälön järjestelmälle kahdessa tuntemattomassa. Minkä vuoksi? ”Yksinkertaisin järjestelmä on loppujen lopuksi ratkaistavissa koulumenetelmällä, lukukausittaisella lisäyksellä!
Tosiasia on, että vaikka joskus, mutta sellainen tehtävä on - ratkaista kahden lineaarisen yhtälön järjestelmä kahdella tuntemattomalla käyttämällä Cramerin kaavoja. Toiseksi, yksinkertaisempi esimerkki auttaa sinua ymmärtämään, kuinka Cramerin sääntöä voidaan käyttää enemmän vaikea tapaus– kolmen yhtälön järjestelmät, joissa on kolme tuntematonta.
Lisäksi on olemassa kahdella muuttujalla varustettuja lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, jotka on suositeltavaa ratkaista täsmälleen Cramerin säännön mukaan!
Harkitse yhtälöjärjestelmää
Ensimmäisessä vaiheessa laskemme determinantin , sitä kutsutaan järjestelmän päätekijä.
Gaussin menetelmä.
Jos , niin järjestelmässä on ainoa päätös, ja juurten löytämiseksi meidän on laskettava kaksi muuta determinanttia:
Ja
Käytännössä yllä olevat tarkenteet voidaan merkitä myös latinalaisella kirjaimella.
Yhtälön juuret löytyvät kaavoista:
,
Esimerkki 7
Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä 
Ratkaisu: Näemme, että yhtälön kertoimet ovat melko suuria, oikealla puolella on desimaalimurtolukuja pilkulla. Pilkku on melko harvinainen vieras käytännön tehtäviä matematiikassa otin tämän järjestelmän ekonometrisesta ongelmasta.
Kuinka ratkaista tällainen järjestelmä? Voit yrittää ilmaista yhtä muuttujaa toisella, mutta tässä tapauksessa saat varmasti kauheita hienoja murtolukuja, joiden kanssa työskentely on erittäin hankalaa, ja ratkaisun suunnittelu näyttää aivan kamalalta. Voit kertoa toisen yhtälön 6:lla ja vähentää termiltä termiltä, mutta samat murtoluvut näkyvät tässä.
Mitä tehdä? Tällaisissa tapauksissa Cramerin kaavat tulevat apuun.
;
;
Vastaus: ,
Molemmilla juurilla on äärettömät häntät ja niitä löytyy likimäärin, mikä on varsin hyväksyttävää (ja jopa yleistä) ekonometristen ongelmien kannalta.
Kommentteja ei tarvita täällä, koska tehtävä ratkaistaan valmiiden kaavojen mukaan, mutta siinä on yksi varoitus. Kun käytössä tätä menetelmää, pakollinen Tehtävän fragmentti on seuraava fragmentti: "Joten järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu". Muussa tapauksessa arvioija voi rangaista sinua Cramerin lauseen epäkunnioituksesta.
Ei ole tarpeetonta tarkistaa, mikä on kätevää suorittaa laskimella: korvaamme likimääräiset arvot järjestelmän kunkin yhtälön vasemmalla puolella. Tämän seurauksena oikealla puolella olevat numerot tulisi saada pienellä virheellä.
Esimerkki 8
Ilmaise vastauksesi tavallisilla virheellisillä murtoluvuilla. Tee sekki.
Tämä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta (esimerkki hienosta suunnittelusta ja vastaus oppitunnin lopussa).
Siirrymme tarkastelemaan Cramerin sääntöä kolmen yhtälön järjestelmälle, jossa on kolme tuntematonta: 
Löydämme järjestelmän päätekijän: 
Jos , niin järjestelmällä on äärettömän monta ratkaisua tai se on epäjohdonmukainen (ei ratkaisuja). Tässä tapauksessa Cramerin sääntö ei auta, sinun on käytettävä Gauss-menetelmää.
Jos , niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, ja juurten löytämiseksi meidän on laskettava kolme muuta determinanttia: 
, 
, 
Ja lopuksi vastaus lasketaan kaavoilla: 
Kuten näette, "kolme kertaa kolme" -tapaus ei pohjimmiltaan eroa "kaksi kolmelta" -tapauksesta, vapaiden termien sarake "kävelee" peräkkäin vasemmalta oikealle päämääritteen sarakkeita pitkin.
Esimerkki 9
Ratkaise järjestelmä Cramerin kaavoilla. 
Ratkaisu: Ratkaistaan järjestelmä Cramerin kaavoilla. 
, joten järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu.
Vastaus: 
.
Itse asiassa tässä ei ole mitään erityistä kommentoitavaa, kun otetaan huomioon, että päätös tehdään valmiiden kaavojen mukaan. Mutta on pari huomautusta.
Tapahtuu, että laskelmien tuloksena saadaan "huonoja" pelkistymättömiä murtolukuja, esimerkiksi: .
Suosittelen seuraavaa "hoito"-algoritmia. Jos tietokonetta ei ole käsillä, teemme näin:
1) Laskelmissa voi olla virhe. Heti kun kohtaat "huonon" laukauksen, sinun on heti tarkistettava, onko onko ehto kirjoitettu uudelleen oikein. Jos ehto kirjoitetaan uudelleen ilman virheitä, sinun on laskettava determinantit uudelleen käyttämällä toisen rivin (sarakkeen) laajennusta.
2) Mikäli tarkastuksen tuloksena ei löytynyt virheitä, on todennäköisimmin kirjoitusvirhe tehtävän tilassa. Tässä tapauksessa ratkaise tehtävä rauhallisesti ja HUOLELLISESTI loppuun asti ja sitten muista tarkistaa ja laadittava se puhtaana kappaleena päätöksen jälkeen. Murtolukuvastauksen tarkistaminen on tietysti epämiellyttävä tehtävä, mutta se tulee olemaan aseistariisuttava argumentti opettajalle, joka todella haluaa laittaa miinuksen mistä tahansa huonosta asiasta, kuten. Kuinka käsitellä murtolukuja, kerrotaan yksityiskohtaisesti esimerkin 8 vastauksessa.
Jos sinulla on tietokone käsillä, tarkista se automaattisella ohjelmalla, jonka voi ladata ilmaiseksi heti oppitunnin alussa. Muuten, on edullisinta käyttää ohjelmaa heti (jo ennen ratkaisun aloittamista), näet välittömästi välivaiheen, jossa teit virheen! Sama laskin laskee automaattisesti järjestelmän ratkaisun matriisimenetelmällä.
Toinen huomautus. Ajoittain tulee järjestelmiä, joiden yhtälöistä puuttuu joitain muuttujia, esim. 
Tässä ensimmäisessä yhtälössä ei ole muuttujaa, toisessa ei ole muuttujaa. Tällaisissa tapauksissa on erittäin tärkeää kirjoittaa oikein ja HUOLELLISESTI päätekijä: 
– puuttuvien muuttujien tilalle laitetaan nollia.
Muuten, on järkevää avata determinantit nolilla sen rivin (sarakkeen) mukaan, jossa nolla sijaitsee, koska laskelmia on huomattavasti vähemmän.
Esimerkki 10
Ratkaise järjestelmä Cramerin kaavoilla. 
Tämä on esimerkki itsepäätöksestä (näyte ja vastaus oppitunnin lopussa).
Jos kyseessä on 4 yhtälöjärjestelmä, jossa on 4 tuntematonta, Cramerin kaavat kirjoitetaan samanlaisten periaatteiden mukaan. Voit nähdä elävän esimerkin Determinant Properties -oppitunnilla. Determinantin järjestyksen pienentäminen - viisi 4. kertaluvun determinanttia ovat melko ratkaisevia. Vaikka tehtävä muistuttaa jo kovasti professorin kenkää onnen opiskelijan rinnassa.
Järjestelmän ratkaisu käänteismatriisin avulla
Käänteismatriisimenetelmä on olennaisesti erikoistapaus matriisiyhtälö(Katso määritellyn oppitunnin esimerkki nro 3).
Tämän osan tutkimiseksi sinun on kyettävä laajentamaan determinantteja, löytämään käänteismatriisi ja suorittamaan matriisin kertolasku. Asiaankuuluvat linkit annetaan selityksen edetessä.
Esimerkki 11
Ratkaise järjestelmä matriisimenetelmällä 
Ratkaisu: Kirjoitamme järjestelmän matriisimuotoon:
, Missä 
Katso yhtälöjärjestelmä ja matriisit. Millä periaatteella kirjoitamme elementtejä matriiseihin, luulen kaikkien ymmärtävän. Ainoa kommentti: jos yhtälöistä puuttuisi joitain muuttujia, niin matriisin vastaaviin paikkoihin pitäisi laittaa nollia.
Löydämme käänteisen matriisin kaavalla:
, jossa on matriisin vastaavien elementtien algebrallisten komplementtien transponoitu matriisi.
Ensin käsitellään determinanttia:
Tässä determinanttia laajennetaan ensimmäisellä rivillä.
Huomio! Jos , niin käänteismatriisia ei ole olemassa, ja järjestelmää on mahdotonta ratkaista matriisimenetelmällä. Tässä tapauksessa järjestelmä ratkaistaan eliminoimalla tuntemattomat (Gaussin menetelmä).
Nyt sinun on laskettava 9 alaikäistä ja kirjoitettava ne alaikäisten matriisiin 
Viite: On hyödyllistä tietää kaksoisalaindeksien merkitys lineaarialgebrassa. Ensimmäinen numero on rivinumero, jossa elementti sijaitsee. Toinen numero on sen sarakkeen numero, jossa elementti sijaitsee: 
Toisin sanoen kaksoisalaindeksi osoittaa, että elementti on ensimmäisellä rivillä, kolmannella sarakkeella, kun taas elementti on esimerkiksi 3. rivillä, 2. sarakkeessa
Laskuristamme löydät ilmaiseksi lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisu Cramerin menetelmällä verkossa yksityiskohtaisella ratkaisulla ja jopa kompleksiluvuilla. Jokainen laskelmissa käytetty determinantti on katsottavissa erikseen, ja voit myös tarkistaa yhtälöjärjestelmän tarkan muodon, jos yhtäkkiä päämatriisin determinantti osoittautui nollaksi.
Voit lukea lisää verkkolaskimen käytöstä ohjeista.
Tietoja menetelmästä
Kun ratkaistaan lineaarinen yhtälöjärjestelmä Cramer-menetelmällä, suoritetaan seuraavat vaiheet.
- Kirjoitamme lisätyn matriisin.
- Löydämme päämatriisin (neliö) determinantin.
- Löytääksemme i:nnen juuren korvaamme päämatriisin vapaiden termien sarakkeen i:nnellä paikalla ja löydämme sen determinantin. Seuraavaksi löydämme saadun determinantin suhteen pääasialliseen, tämä on seuraava ratkaisu. Suoritamme tämän toiminnon jokaiselle muuttujalle.
- Jos matriisin päädeterminantti on nolla, yhtälöjärjestelmä on joko epäjohdonmukainen tai sillä on ääretön määrä ratkaisuja. Valitettavasti Cramerin menetelmä ei anna tarkempaa vastausta tähän kysymykseen. Tässä auttaa sinua
Kun yhtälöiden määrä on sama kuin tuntemattomien lukumäärä matriisin päädeterminantilla, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla, järjestelmän kertoimet (tällaisille yhtälöille on ratkaisu ja se on vain yksi).
Cramerin lause.
Kun neliöjärjestelmän matriisin determinantti on muu kuin nolla, niin järjestelmä on yhteensopiva ja sillä on yksi ratkaisu ja se voidaan löytää Cramerin kaavat:
missä Δ - järjestelmämatriisin determinantti,
Δ i- järjestelmän matriisin determinantti, jossa sen sijaan i sarake on oikeanpuoleisten osien sarake.
Kun järjestelmän determinantti on nolla, järjestelmästä voi tulla johdonmukainen tai epäjohdonmukainen.
Tätä menetelmää käytetään yleensä pienet järjestelmät tilavuuslaskelmien kanssa ja jos on tarpeen määrittää yksi tuntemattomista. Menetelmän monimutkaisuus on se, että on tarpeen laskea monia determinantteja.
Cramerin menetelmän kuvaus.
On olemassa yhtälöjärjestelmä:
Kolmen yhtälön järjestelmä voidaan ratkaista Cramerin menetelmällä, jota käsiteltiin edellä 2 yhtälöjärjestelmän osalta.
Muodostamme determinantin tuntemattomien kertoimista:
Se tulee olemaan järjestelmän tarkenne. Kun D≠0, joten järjestelmä on yhteensopiva. Nyt muodostamme 3 lisätekijää:
,
,
Ratkaisemme järjestelmän Cramerin kaavat:
Esimerkkejä yhtälöjärjestelmien ratkaisemisesta Cramerin menetelmällä.
Esimerkki 1.
Annettu järjestelmä:
Ratkaistaan se Cramerin menetelmällä.
Ensin sinun on laskettava järjestelmän matriisin determinantti:
Koska Δ≠0, joten Cramerin lauseen perusteella järjestelmä on yhteensopiva ja sillä on yksi ratkaisu. Laskemme lisädeterminantteja. Determinantti Δ1 saadaan determinantista Δ korvaamalla sen ensimmäinen sarake vapaiden kertoimien sarakkeella. Saamme:
Samalla tavalla saamme determinantin Δ 2 järjestelmän matriisin determinantista korvaamalla toisen sarakkeen vapaiden kertoimien sarakkeella:
Tämän kappaleen hallitsemiseksi sinun on kyettävä avaamaan tarkenteet "kaksi kertaa kaksi" ja "kolme kolmella". Jos karsinnat ovat huonoja, lue oppitunti Kuinka determinantti lasketaan?
Tarkastellaan ensin yksityiskohtaisesti Cramerin sääntöä kahden lineaarisen yhtälön järjestelmälle kahdessa tuntemattomassa. Minkä vuoksi? ”Yksinkertaisin järjestelmä on loppujen lopuksi ratkaistavissa koulumenetelmällä, lukukausittaisella lisäyksellä!
Tosiasia on, että vaikka joskus, mutta sellainen tehtävä on - ratkaista kahden lineaarisen yhtälön järjestelmä kahdella tuntemattomalla käyttämällä Cramerin kaavoja. Toiseksi, yksinkertaisempi esimerkki auttaa ymmärtämään, kuinka Cramerin sääntöä käytetään monimutkaisemmassa tapauksessa - kolmen yhtälön järjestelmässä, jossa on kolme tuntematonta.
Lisäksi on olemassa kahdella muuttujalla varustettuja lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, jotka on suositeltavaa ratkaista täsmälleen Cramerin säännön mukaan!
Harkitse yhtälöjärjestelmää
Ensimmäisessä vaiheessa laskemme determinantin , sitä kutsutaan järjestelmän päätekijä.
Gaussin menetelmä.
Jos , niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, ja juurten löytämiseksi meidän on laskettava kaksi muuta determinanttia:
Ja
Käytännössä yllä olevat tarkenteet voidaan merkitä myös latinalaisella kirjaimella.
Yhtälön juuret löytyvät kaavoista:
,
Esimerkki 7
Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä 
Ratkaisu: Näemme, että yhtälön kertoimet ovat melko suuria, oikealla puolella on desimaalimurtolukuja pilkulla. Pilkku on melko harvinainen vieras matematiikan käytännön tehtävissä, otin tämän järjestelmän ekonometrisesta ongelmasta.
Kuinka ratkaista tällainen järjestelmä? Voit yrittää ilmaista yhtä muuttujaa toisella, mutta tässä tapauksessa saat varmasti kauheita hienoja murtolukuja, joiden kanssa työskentely on erittäin hankalaa, ja ratkaisun suunnittelu näyttää aivan kamalalta. Voit kertoa toisen yhtälön 6:lla ja vähentää termiltä termiltä, mutta samat murtoluvut näkyvät tässä.
Mitä tehdä? Tällaisissa tapauksissa Cramerin kaavat tulevat apuun.
;
;
Vastaus: ,
Molemmilla juurilla on äärettömät häntät ja niitä löytyy likimäärin, mikä on varsin hyväksyttävää (ja jopa yleistä) ekonometristen ongelmien kannalta.
Kommentteja ei tarvita täällä, koska tehtävä ratkaistaan valmiiden kaavojen mukaan, mutta siinä on yksi varoitus. Kun käytät tätä menetelmää, pakollinen Tehtävän fragmentti on seuraava fragmentti: "Joten järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu". Muussa tapauksessa arvioija voi rangaista sinua Cramerin lauseen epäkunnioituksesta.
Ei ole tarpeetonta tarkistaa, mikä on kätevää suorittaa laskimella: korvaamme likimääräiset arvot järjestelmän kunkin yhtälön vasemmalla puolella. Tämän seurauksena oikealla puolella olevat numerot tulisi saada pienellä virheellä.
Esimerkki 8
Ilmaise vastauksesi tavallisilla virheellisillä murtoluvuilla. Tee sekki.
Tämä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta (esimerkki hienosta suunnittelusta ja vastaus oppitunnin lopussa).
Siirrymme tarkastelemaan Cramerin sääntöä kolmen yhtälön järjestelmälle, jossa on kolme tuntematonta: 
Löydämme järjestelmän päätekijän: 
Jos , niin järjestelmällä on äärettömän monta ratkaisua tai se on epäjohdonmukainen (ei ratkaisuja). Tässä tapauksessa Cramerin sääntö ei auta, sinun on käytettävä Gauss-menetelmää.
Jos , niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, ja juurten löytämiseksi meidän on laskettava kolme muuta determinanttia: , 
, 
Ja lopuksi vastaus lasketaan kaavoilla:
Kuten näette, "kolme kertaa kolme" -tapaus ei pohjimmiltaan eroa "kaksi kolmelta" -tapauksesta, vapaiden termien sarake "kävelee" peräkkäin vasemmalta oikealle päämääritteen sarakkeita pitkin.
Esimerkki 9
Ratkaise järjestelmä Cramerin kaavoilla.
Ratkaisu: Ratkaistaan järjestelmä Cramerin kaavoilla. 
, joten järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu.
Vastaus: 
.
Itse asiassa tässä ei ole mitään erityistä kommentoitavaa, kun otetaan huomioon, että päätös tehdään valmiiden kaavojen mukaan. Mutta on pari huomautusta.
Tapahtuu, että laskelmien tuloksena saadaan "huonoja" pelkistymättömiä murtolukuja, esimerkiksi: .
Suosittelen seuraavaa "hoito"-algoritmia. Jos tietokonetta ei ole käsillä, teemme näin:
1) Laskelmissa voi olla virhe. Heti kun kohtaat "huonon" laukauksen, sinun on heti tarkistettava, onko onko ehto kirjoitettu uudelleen oikein. Jos ehto kirjoitetaan uudelleen ilman virheitä, sinun on laskettava determinantit uudelleen käyttämällä toisen rivin (sarakkeen) laajennusta.
2) Mikäli tarkastuksen tuloksena ei löytynyt virheitä, on todennäköisimmin kirjoitusvirhe tehtävän tilassa. Tässä tapauksessa ratkaise tehtävä rauhallisesti ja HUOLELLISESTI loppuun asti ja sitten muista tarkistaa ja laadittava se puhtaana kappaleena päätöksen jälkeen. Murtolukuvastauksen tarkistaminen on tietysti epämiellyttävä tehtävä, mutta se tulee olemaan aseistariisuttava argumentti opettajalle, joka todella haluaa laittaa miinuksen mistä tahansa huonosta asiasta, kuten. Kuinka käsitellä murtolukuja, kerrotaan yksityiskohtaisesti esimerkin 8 vastauksessa.
Jos sinulla on tietokone käsillä, tarkista se automaattisella ohjelmalla, jonka voi ladata ilmaiseksi heti oppitunnin alussa. Muuten, on edullisinta käyttää ohjelmaa heti (jo ennen ratkaisun aloittamista), näet välittömästi välivaiheen, jossa teit virheen! Sama laskin laskee automaattisesti järjestelmän ratkaisun matriisimenetelmällä.
Toinen huomautus. Ajoittain tulee järjestelmiä, joiden yhtälöistä puuttuu joitain muuttujia, esim. 
Tässä ensimmäisessä yhtälössä ei ole muuttujaa, toisessa ei ole muuttujaa. Tällaisissa tapauksissa on erittäin tärkeää kirjoittaa oikein ja HUOLELLISESTI päätekijä: 
– puuttuvien muuttujien tilalle laitetaan nollia.
Muuten, on järkevää avata determinantit nollalla sen rivin (sarakkeen) mukaan, jossa nolla sijaitsee, koska laskelmia on huomattavasti vähemmän.
Esimerkki 10
Ratkaise järjestelmä Cramerin kaavoilla. 
Tämä on esimerkki itsepäätöksestä (näyte ja vastaus oppitunnin lopussa).
Jos kyseessä on 4 yhtälöjärjestelmä, jossa on 4 tuntematonta, Cramerin kaavat kirjoitetaan samanlaisten periaatteiden mukaan. Voit nähdä elävän esimerkin Determinant Properties -oppitunnilla. Determinantin järjestyksen pienentäminen - viisi 4. kertaluvun determinanttia ovat melko ratkaisevia. Vaikka tehtävä muistuttaa jo kovasti professorin kenkää onnen opiskelijan rinnassa.
Järjestelmän ratkaisu käänteismatriisin avulla
Käänteismatriisimenetelmä on pohjimmiltaan erikoistapaus matriisiyhtälö(Katso määritellyn oppitunnin esimerkki nro 3).
Tämän osan tutkimiseksi sinun on kyettävä laajentamaan determinantteja, löytämään käänteismatriisi ja suorittamaan matriisin kertolasku. Asiaankuuluvat linkit annetaan selityksen edetessä.
Esimerkki 11
Ratkaise järjestelmä matriisimenetelmällä
Ratkaisu: Kirjoitamme järjestelmän matriisimuotoon:
, Missä 
Katso yhtälöjärjestelmä ja matriisit. Millä periaatteella kirjoitamme elementtejä matriiseihin, luulen kaikkien ymmärtävän. Ainoa kommentti: jos yhtälöistä puuttuisi joitain muuttujia, niin matriisin vastaaviin paikkoihin pitäisi laittaa nollia.
Löydämme käänteisen matriisin kaavalla:
, jossa on matriisin vastaavien elementtien algebrallisten komplementtien transponoitu matriisi.
Ensin käsitellään determinanttia:
Tässä determinanttia laajennetaan ensimmäisellä rivillä.
Huomio! Jos , niin käänteismatriisia ei ole olemassa, ja järjestelmää on mahdotonta ratkaista matriisimenetelmällä. Tässä tapauksessa järjestelmä ratkaistaan eliminoimalla tuntemattomat (Gaussin menetelmä).
Nyt sinun on laskettava 9 alaikäistä ja kirjoitettava ne alaikäisten matriisiin 
Viite: On hyödyllistä tietää kaksoisalaindeksien merkitys lineaarialgebrassa. Ensimmäinen numero on rivinumero, jossa elementti sijaitsee. Toinen numero on sen sarakkeen numero, jossa elementti sijaitsee: 
Toisin sanoen kaksoisalaindeksi osoittaa, että elementti on ensimmäisellä rivillä, kolmannella sarakkeella, kun taas elementti on esimerkiksi 3. rivillä, 2. sarakkeessa
Ratkaisun aikana on parempi kuvata alaikäisten laskelma yksityiskohtaisesti, vaikka tietyllä kokemuksella niitä voidaan säätää suullisesti laskemaan virheellisesti.
Tarkastellaan 3 yhtälöjärjestelmää, jossa on kolme tuntematonta
Kolmannen kertaluvun determinantteja käyttämällä tällaisen järjestelmän ratkaisu voidaan kirjoittaa samaan muotoon kuin kahden yhtälöjärjestelmän, ts.
(2.4)
jos 0. Tässä
se on Cramerin sääntö kolmen lineaarisen yhtälön järjestelmän ratkaiseminen kolmessa tuntemattomassa.
Esimerkki 2.3. Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Cramerin säännöllä:
Ratkaisu . Järjestelmän päämatriisin determinantin löytäminen
Koska 0, niin ratkaisun löytämiseksi järjestelmään voit soveltaa Cramerin sääntöä, mutta laske ensin kolme muuta determinanttia:
Tutkimus:
Siksi ratkaisu löytyy oikein.
Cramerin säännöt johdettu lineaariset järjestelmät 2. ja 3. kertaluokka viittaa siihen, että samat säännöt voidaan muotoilla minkä tahansa luokan lineaarisille järjestelmille. todella tapahtuu
Cramerin lause. Lineaaristen yhtälöiden neliöllinen järjestelmä, jossa järjestelmän päämatriisin nollasta poikkeava determinantti (0) on yksi ja vain yksi ratkaisu, ja tämä ratkaisu lasketaan kaavoilla
(2.5)
Missä – päämatriisin determinantti, i – matriisin determinantti, johdettu pääkorvauksestaisarake vapaat jäsenet -sarake.
Huomaa, että jos =0, Cramerin sääntöä ei voida soveltaa. Tämä tarkoittaa, että järjestelmässä joko ei ole lainkaan ratkaisuja tai ratkaisuja on äärettömän monta.
Kun Cramerin lause on muotoiltu, herää luonnollisesti kysymys korkeamman asteen determinanttien laskemisesta.
2.4. n:nnen kertaluvun determinantit
Ylimääräinen alaikäinen M ij elementti a ij kutsutaan determinantiksi, joka saadaan annetusta poistamalla i- rivi ja j- sarake. Algebrallinen lisäys A ij elementti a ij kutsutaan tämän elementin molliksi, otettuna merkillä (–1) i + j, eli A ij = (–1) i + j M ij .
Etsitään esimerkiksi alkioiden molli- ja algebralliset komplementit a 23 ja a 31 tekijää
Saamme
Käyttämällä algebrallisen komplementin käsitettä voimme muotoilla determinanttilaajennuslausen- järjestys rivin tai sarakkeen mukaan.
Lause 2.1. Matriisin determinanttiAon yhtä suuri kuin jonkin rivin (tai sarakkeen) kaikkien elementtien ja niiden algebrallisten komplementtien tulojen summa:
(2.6)
Tämä teoreema on yksi tärkeimmistä determinanttien laskentamenetelmistä, ns. tilausten vähennysmenetelmä. Determinantin laajentumisen seurauksena n järjestyksessä missä tahansa rivissä tai sarakkeessa, saamme n determinanttia ( n–1)-järjestys. Jotta tällaisia determinantteja olisi vähemmän, on suositeltavaa valita se rivi tai sarake, jossa on eniten nollia. Käytännössä determinantin laajennuskaava kirjoitetaan yleensä seuraavasti:
nuo. algebralliset lisäykset on kirjoitettu nimenomaisesti alaikäisillä.
Esimerkit 2.4. Laske determinantit laajentamalla ne ensin millä tahansa rivillä tai sarakkeella. Yleensä tällaisissa tapauksissa valitaan se sarake tai rivi, jossa on eniten nollia. Valittu rivi tai sarake merkitään nuolella.
2.5. Determinanttien perusominaisuudet
Kun determinanttia laajennetaan missä tahansa rivissä tai sarakkeessa, saadaan n determinanttia ( n–1)-järjestys. Sitten jokainen näistä determinanteista ( n–1)-kertaus voidaan myös hajottaa determinanttien summaksi ( n–2) järjestys. Jatkamalla tätä prosessia voidaan saavuttaa 1. asteen determinantit, ts. matriisin elementteihin, joiden determinanttia lasketaan. Joten 2. asteen determinanttien laskemiseksi sinun on laskettava kahden ehdon summa, 3. asteen determinanteille - 6 termin summa, 4. asteen determinanteille - 24 termiä. Termien määrä kasvaa jyrkästi determinantin järjestyksen kasvaessa. Tämä tarkoittaa, että erittäin korkeiden determinanttien laskemisesta tulee melko työläs tehtävä, joka ylittää jopa tietokoneen voiman. Determinantit voidaan kuitenkin laskea toisella tavalla, käyttämällä determinanttien ominaisuuksia.
Kiinteistö 1 . Determinantti ei muutu, jos siinä vaihdetaan rivejä ja sarakkeita, ts. matriisia transponoitaessa:
.
Tämä ominaisuus ilmaisee determinantin rivien ja sarakkeiden yhtäläisyyden. Toisin sanoen mikä tahansa väite determinantin sarakkeista pätee sen riveille ja päinvastoin.
Kiinteistö 2 . Determinantti vaihtaa etumerkkiä, kun kaksi riviä (saraketta) vaihdetaan.
Seuraus . Jos determinantissa on kaksi identtistä riviä (saraketta), se on yhtä suuri kuin nolla.
Kiinteistö 3 . Minkä tahansa rivin (sarakkeen) kaikkien elementtien yhteinen tekijä voidaan ottaa pois determinantin etumerkistä.
Esimerkiksi,
Seuraus . Jos determinantin jonkin rivin (sarakkeen) kaikki alkiot ovat nolla, itse determinantti on nolla.
Kiinteistö 4 . Determinantti ei muutu, jos yhden rivin (sarakkeen) elementit lisätään toisen rivin (sarakkeen) elementteihin kerrottuna jollakin luvulla.
Esimerkiksi,
Kiinteistö 5 . Matriisitulon determinantti on yhtä suuri kuin matriisideterminanttien tulo:
Ladataan...