Missä kompleksilukuja käytetään elämässä. Missä kompleksilukuja käytetään? Korkeampien voimien yhtälöt

§1. Monimutkaiset luvut

1°. Määritelmä. Algebrallinen merkintä.

Määritelmä 1. Monimutkaiset luvut kutsutaan järjestetyiksi reaalilukupareiksi Ja , jos niille on määritelty tasa-arvon käsite, yhteen- ja kertolaskuoperaatiot, jotka täyttävät seuraavat aksioomit:

1) Kaksi numeroa
Ja
yhtä suuri jos ja vain jos
,
, eli


,
.

2) Kompleksilukujen summa
Ja

ja tasa-arvoinen
, eli

+
=
.

3) Kompleksilukujen tulo
Ja
numeroon soitetaan
ja yhtä suuri kuin ts.

∙=.

Kompleksilukujen joukko on merkitty C.

Kaavat (2),(3) lomakkeen numeroille
ota lomake

mistä seuraa, että muodon lukujen yhteen- ja kertolaskuoperaatiot
osuvat yhteen reaalilukujen yhteen- ja kertolaskujen kanssa  muodon kompleksiluku
tunnistetaan reaaliluvulla .

Monimutkainen luku
nimeltään kuvitteellinen yksikkö ja merkitty , eli
Sitten alkaen (3) 

Alkaen (2), (3)  mikä tarkoittaa

Lauseketta (4) kutsutaan algebrallinen merkintä kompleksiluku.

Algebrallisessa muodossa yhteen- ja kertolaskuoperaatiot ovat muotoa:

Kompleksiluku on merkitty
, - oikea osa, on kuvitteellinen osa, on puhtaasti kuvitteellinen luku. Nimitys:
,
.

Määritelmä 2. Monimutkainen luku
nimeltään konjugaatti kompleksiluvulla
.

Monimutkaisen konjugaation ominaisuudet.

2)
.

3) Jos
, Tuo
.

4)
.

5)
on todellinen luku.

Todistus suoritetaan suoralla laskennalla.

Määritelmä 3. Määrä
nimeltään moduuli kompleksiluku
ja merkitty
.

Se on selvää
, ja

. Kaavat ovat myös ilmeisiä:
Ja
.

2°. Yhteen- ja kertolaskuoperaatioiden ominaisuudet.

1) Kommutatiivisuus:
,
.

2) Assosiatiivisuus:,
.

3) Jakavuus: .

Todistus 1) - 3) suoritetaan suorilla laskelmilla, jotka perustuvat reaalilukujen samanlaisiin ominaisuuksiin.

4)
,
.

5) , C ! , joka täyttää yhtälön
. Sellainen

6) ,C, 0, ! :
. Sellainen saadaan kertomalla yhtälö luvulla

.

Esimerkki. Kuvittele kompleksiluku
algebrallisessa muodossa. Voit tehdä tämän kertomalla murtoluvun osoittaja ja nimittäjä nimittäjän konjugaatilla. Meillä on:

3°. Kompleksilukujen geometrinen tulkinta. Kompleksiluvun kirjoittamisen trigonometrinen ja eksponentiaalinen muoto.

Olkoon tasossa suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä. Sitten
C tason pisteen voi liittää koordinaatteihin
.(katso kuva 1). On selvää, että tällainen kirjeenvaihto on yksittäinen. Tässä tapauksessa reaaliluvut ovat abskissa-akselilla ja puhtaasti imaginaariluvut ordinaatta-akselilla. Siksi abskissa-akselia kutsutaan todellinen akseli, ja y-akseli − kuvitteellinen akseli. Tasoa, jolla kompleksiluvut sijaitsevat, kutsutaan monimutkainen taso.

Ota huomioon, että Ja
ovat symmetrisiä alkuperän suhteen, ja Ja ovat symmetrisiä Ox:n suhteen.

Jokainen kompleksiluku (eli jokainen tason piste) voidaan liittää vektoriin, jonka alku on pisteessä O ja loppu pisteessä
. Vektorien ja kompleksilukujen välinen vastaavuus on yksi yhteen. Siksi kompleksilukua vastaava vektori , merkitty samalla kirjaimella

D vektoriviiva
vastaa kompleksilukua
, on yhtä suuri kuin
, ja
,
.

Vektorin tulkintaa käyttämällä voidaan nähdä, että vektori
− vektorien summa Ja , A
− vektorien summa Ja
.(katso kuva 2). Siksi seuraavat epätasa-arvot ovat totta:

Yhdessä pituuden kanssa vektori esittelemme kulman vektorin välillä ja Ox-akseli, laskettuna Ox-akselin positiivisesta suunnasta: jos laskuri on vastapäivään, kulman etumerkkiä pidetään positiivisena, jos myötäpäivään, niin negatiivisena. Tätä nurkkaa kutsutaan kompleksiluvun argumentti ja merkitty
. Kulma ei ole määritelty yksiselitteisesti, vaan tarkasti
…. varten
argumenttia ei ole määritelty.

Kaavat (6) määrittelevät ns trigonometrinen merkintä kompleksiluku.

Kohdasta (5) seuraa, että jos
Ja
Että

,
.

Alkaen (5)
mitä kautta Ja Kompleksiluku on yksilöllisesti määritelty. Päinvastoin ei pidä paikkaansa: nimittäin kompleksiluvulla sen moduuli on ainutlaatuinen, ja argumentti , johtuen (7), − tarkkuudella
. Kohdasta (7) seuraa myös, että väite voidaan löytää ratkaisuna yhtälöön

Kaikki tämän yhtälön ratkaisut eivät kuitenkaan ole (7) ratkaisuja.

Kaikista kompleksiluvun argumentin arvoista valitaan yksi, jota kutsutaan argumentin pääarvoksi ja merkitään
. Yleensä argumentin pääarvo valitaan joko väliltä
, tai välissä

Trigonometrisessa muodossa on kätevää suorittaa kerto- ja jakooperaatioita.

Lause 1. Kompleksilukujen tulon moduuli Ja on yhtä suuri kuin moduulien tulo, ja argumentti on yhtä suuri kuin argumenttien summa, ts.

, A.

samalla lailla

Todiste. Antaa , . Sitten suoraan kertomalla saamme:

samalla lailla

.■

Seuraus(De Moivren kaava). varten
Moivren kaava on pätevä

P esimerkki. Anna Etsi pisteen geometrinen sijainti
. Lauseesta 1 seuraa, että .

Siksi sen rakentamiseksi sinun on ensin rakennettava piste , joka on käänteinen yksikköympyrän ympäri ja etsi sitten sille symmetrinen piste x-akselin ympäri.

Antaa
, eli
Monimutkainen luku
merkitty
, eli R Eulerin kaava on voimassa

Koska
, Tuo
,
. Lauseen 1 perusteella
entä toiminto
on mahdollista työskennellä kuten tavallisella eksponentiaalisella funktiolla, ts. tasa-arvo on totta

,
,
.

Alkaen (8)
eksponentiaalinen merkintä kompleksiluku

, Missä
,

Esimerkki. .

4°. Juuret kompleksiluvun potenssi.

Harkitse yhtälöä

,
KANSSA ,
N .

Antaa
, ja yhtälön (9) ratkaisua etsitään muodossa
. Sitten (9) saa muodon
, mistä löydämme sen
,
, eli

,
,
.

Siten yhtälöllä (9) on juuret

,
.

Osoittakaamme, että joukossa (10) on täsmälleen erilaisia juuria. Todella,

ovat erilaisia, koska heidän argumenttinsa ovat erilaisia ja eroavat vähemmän kuin
. Edelleen,
, koska
. samalla lailla
.

Siten yhtälö (9) for
on tarkalleen juuret
sijaitsee säännöllisen kärjessä -gon piirretty säteen ympyrään keskipisteenä T.O.

Näin ollen se on todistettu

Lause 2. juurien uuttaminen kompleksiluvun potenssi
aina mahdollista. Kaikki juuriarvot aste sijaitsee oikean yläosassa -gon piirretty ympyrään, jonka keskipiste on nolla ja säde
. Jossa,

Seuraus. Juuret -th aste 1 ilmaistaan kaavalla

1:n kahden juuren tulo on juuri, 1 on juuri - yhtenäisyyden aste, juuri
:
.

Viimeisten kahdensadan vuoden aikana kompleksiluvut ovat löytäneet lukuisia ja joskus täysin odottamattomia sovelluksia. Joten esimerkiksi kompleksilukujen avulla Gauss löysi vastauksen puhtaasti geometriseen kysymykseen: mille luonnolliselle n:lle säännöllinen n-kulmio voidaan rakentaa kompassilla ja viivaimella? Koulun geometrian kurssista tiedetään kuinka rakentaa säännöllisiä monikulmioita kompassilla ja viivaimella: säännöllinen kolmio, neliö, säännöllinen kuusikulmio (sen sivu on yhtä suuri kuin sen ympärille piirretyn ympyrän säde). Vaikeampaa on tavallisen viisikulmion ja viidentoista kulman rakentaminen. Kun olet oppinut rakentamaan näitä säännöllisiä polygoneja, on helppo siirtyä rakentamaan vastaavia polygoneja, joissa on kaksinkertainen sivumäärä: kahdeksankulmio, kymmenkulmio jne. Kaikki nämä rakennusongelmat ratkaistiin muinaisessa Kreikassa. Huolimatta monien merkittävien antiikin kreikkalaisten geometrien ja muiden tutkijoiden suurista ponnisteluista kukaan ei kuitenkaan onnistunut rakentamaan säännöllistä seitsenkulmiota tai säännöllistä nonagoniaa. Ei myöskään ollut mahdollista muodostaa säännöllistä p-gonia millekään alkuluvulle p, paitsi p = 3 ja p = 5. Yli kahteen tuhanteen vuoteen kukaan ei kyennyt etenemään tämän ongelman ratkaisemisessa. Vuonna 1796 Carl Friedrich Gauss, 19-vuotias matematiikan opiskelija Göttingenin yliopistosta, osoitti ensimmäisen kerran mahdollisuuden rakentaa säännöllinen seitsemäntoistasivuinen kolmio kompassin ja suoraviivan avulla. Se oli yksi matematiikan historian hämmästyttävimmistä löydöistä. Seuraavien vuosien aikana Gauss ratkaisi täysin säännöllisten n-kulmien rakentamisen ongelman.

Gauss osoitti, että säännöllinen N-kulmio, jossa on pariton määrä sivuja (pisteitä), voidaan muodostaa käyttämällä kompassia ja suoraviivaa, jos ja vain jos N on Fermat-alkuluku tai useiden eri Fermat-alkulukujen tulo. (Fermat-luvut ovat lukuja muotoa F n = + 1 Jos n = 0, 1, 2, 3, 4 nämä luvut ovat alkulukuja, n = 5 luku F 5 on yhdistelmä. Tästä tuloksesta seurasi, että konstruktio säännöllinen monikulmio on mahdotonta N = 7, 9, 11, 13.

On helppo nähdä, että säännöllisen n-kulmion muodostamisongelma vastaa ongelmaa säteisen R = 1 ympyrän jakamisesta n yhtä suureen osaan. Yllä osoitettiin, että yksikön n:nnellä juurella on täsmälleen n arvoa; melkein kaikki nämä arvot (lukuun ottamatta yhtä tai kahta) ovat monimutkaisia. Ykkösasteen n:nnen asteen juuria edustavat pisteet sijaitsevat ympyrällä, jonka säde on R = 1 ja jakavat sen n:ksi yhtäläiseksi kaareksi, eli ne ovat tähän ympyrään kirjoitetun säännöllisen n-kulman kärjet (ks. kuva 3). ). Todistaessaan säännöllisen 17-gonin rakentamisen mahdollisuutta Gauss käytti ykseyden 17. juuren ominaisuuksia.

XVIII vuosisadalla. syntyi uusi matematiikan alue - monimutkaisen muuttujan funktioteoria. Otetaan käyttöön sellaisen funktion käsite. Tarkastellaan kahta kompleksista muuttujaa z = x + i y ja w = u + i v, missä x, y, u, v ovat todellisia muuttujia, i= - kuvitteellinen yksikkö. Kiinnitetään kaksi kompleksista tasoaOxy (taso z), O "uv (taso w) niille valituilla suorakaiteen muotoisilla koordinaatistoilla ja kaksi joukkoa näille tasoille: D ja D" vastaavasti (kuva 4).

D "

Jos jonkin lain f mukaan jokainen piste zD liittyy yhteen pisteeseen wD", sanotaan, että w on z:n funktio ja kirjoitetaan: w = f(z). Joukkoa D tässä tapauksessa ns. toiminnon laajuus w = f(z), jonka arvot kuuluvat alueeseen D". Jos arvojoukko f(z) tyhjentää koko joukon D", kutsutaan D" arvot funktion f(z) (muutosalue). Tässä tapauksessa he kirjoittavat: D "= f (D). Joukot D ja D" voidaan kuvata samalla kompleksitasolla. Jokainen joukko D ja D" voi olla sama kuin koko taso.

Siten jokainen monimutkainen funktio toteuttaa yksisuuntaisen kuvauksen joukosta toiseen. Tästä johtuen monimutkaiset funktiot löytävät tärkeitä sovelluksia sellaisissa tieteissä kuin hydrodynamiikka ja aerodynamiikka, koska ne sopivat kuvaamaan nesteen (tai kaasun) tilavuuden liikettä.

Käyttämällä kompleksisen muuttujan funktioteoriaa todistamme seuraavan tärkeän lauseen, jota pitkään kutsuttiin algebran peruslauseeksi.

Lause: Jokaisella polynomilla, jolla on mikä tahansa numeerinen kerroin ja jonka aste on vähintään yksi, on vähintään yksi juuri, yleisessä tapauksessa kompleksi.

Tarkastellaan polynomia, jonka aste on n (n ≥ 1):

f(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + ... + a n - 1 x + a n. (36)

Polynomin juuri soita sellaiseen numeroon c (yleisessä tapauksessa kompleksi: c \u003d a + b i), joka häviää annetun polynomin:

a 0 c n + a 1 c n-1 + … + a n-1 c + a n ≡ 0.

Toisin sanoen lause sanoo, että n:nnen asteen algebrallinen yhtälö (n ≥ 1)

a 0 x n + a 1 x n -1 + ... + a n -1 x + a n = 0 37)

on vähintään yksi juuri.

Tämä tarkoittaa, että millä tahansa n:nnen asteen algebrallisella yhtälöllä on täsmälleen n juurta. Itse asiassa, jos polynomin f (x) \u003d a 0 x n + a 1 x n -1 + ... + a n -1 x + a n, juuri on α 1, niin se voidaan esittää muodossa f (x) \u003d (x - α 1) φ 1 (x), missä φ 1 (x) on polynomi, jonka aste on n – 1. Tämän lauseen mukaan tällä polynomilla on vähintään yksi juuri. Merkitään polynomin φ 1 (x) juurta α 2:een, jolloin φ 1 (x) = (x - α 2)φ 2 (x), missä φ 2 (x) on polynomi, jonka aste on n - 2. Jatkuu samanlaisen päättelyn huomaamme, että f(x) = a 0 (x – a 1)(x – a 2)...(x – a n). Tämä osoittaa, että f(α i) = 0 arvoille i – 1, 2, ... , n, eli α i ovat polynomin (36) tai yhtälön (37) juuret. Siten yhtälöllä (37) on n juurta.

Huomaa, että minkä tahansa polynomin, jolla on todelliset kertoimet, kompleksijuuret ovat aina konjugoituja: jos c = a - b i on yhtälön juuri, sitten c \u003d a-b i on myös tämän yhtälön juuri. Toisin sanoen tällaisen polynomin kompleksiset juuret esiintyvät pareittain sen juurijoukossa. Tämä tarkoittaa, että millä tahansa parittoman asteen algebrallisella yhtälöllä on vähintään yksi reaalijuuri.

Kommentti . Kaikilla yhtälöillä ei ole juuria, todellisia tai monimutkaisia. Esimerkiksi transsendentaalisella (ei-algebrallisella) yhtälöllä a x \u003d 0 (a\u003e 0) ei ole juuria (ei todellisia eikä kompleksisia).

Yksinkertaisin esimerkki kompleksisen muuttujan funktiosta on lineaarinen funktio w = z + c, jossa c on vakio (kompleksiluku). Tämä funktio muuntaa z-tason w-tasoksi. Jokaiseen pisteeseen z hän liittää pisteen w = z + c. Ilmeisesti voidaan siirtyä pisteestä z pisteeseen w siirtämällä (rinnakkaiskäännös) vektorilla Kanssa, eli siirtämällä pistettä z vektorin suuntaan Kanssa etäisyydellä, joka on yhtä suuri kuin tämän vektorin pituus (kuvio 5). Mikä tahansa siirtymä voidaan saada valitsemalla sopiva numero c. Esimerkiksi jos pistettä z on siirrettävä Ox-akselin positiiviseen suuntaan kahdella yksiköllä, niin c = 2 tulee ottaa; piste w = z + 2 on haluttu (kuva 6). Jos pistettä z on siirrettävä Oy akselin negatiiviseen suuntaan kolme yksikköä, niin otetaan c = -3 i; piste w "= z + (-3 i) = z – 3 i on haluttu (kuva 6). Joten funktio w = z + c suorittaa tason muunnoksen (kartoituksen), jota vektori kutsuu siirroksi Kanssa.

w = z + c

w = z + 2

w" = z - 3i

Kutsutaan geometrista muunnosa, jossa minkä tahansa muunnetussa kuviossa olevan kahden suoran väliset kulmat eivät muutu konforminen muunnos tai konforminen kartoitus. (Kahden jossain pisteessä leikkaavan suoran välinen kulma ymmärretään näiden tässä kohdassa piirrettyjen viivojen tangenttien väliseksi kulmaksi.) Esimerkkejä konformisista mappauksista ovat translaatio (rinnakkaismuunnos), homoteetisuus ja rotaatio. Siten voidaan sanoa, että funktio w = z + c suorittaa konformisen kuvauksen; tämä on yksi niistä ominaisuuksista.

Monimutkaisen muuttujan funktioteoriaa käytetään laajalti tärkeiden käytännön ongelmien ratkaisemisessa kartografiassa, sähkötekniikassa, lämmönjohtavuudessa jne. Monissa asioissa, joissa puhumme esimerkiksi sähköpotentiaalista tilan pisteissä, jotka ympäröivät varautuneesta kondensaattorista tai kuumennetun kappaleen sisällä olevasta lämpötilasta, nesteen tai kaasun hiukkasten nopeuksista virtauksessa, jotka liikkuvat tietyssä kanavassa ja kiertävät joitain esteitä jne., täytyy pystyä löytämään potentiaali, lämpötila, nopeudet, jne. Tämän tyyppiset ongelmat voidaan ratkaista ilman suuria vaikeuksia siinä tapauksessa, että niissä kohdattavat kappaleet ovat muodoltaan yksinkertaisia (esimerkiksi litteiden levyjen tai pyöreiden sylinterien muodossa). Laskelmien tekeminen on kuitenkin välttämätöntä monissa muissa tapauksissa. Esimerkiksi lentokoneen suunnittelua varten on osattava laskea hiukkasten nopeudet lentokoneen siiven ympärillä olevassa virtauksessa. Tietenkin lentokoneen lennon aikana sekä ilmahiukkaset että itse siipi liikkuvat. Mekaniikan lakeihin luottaen tutkimus voidaan kuitenkin lyhentää tapaukseen, jossa siipi on liikkumaton ja ilmavirta kulkee sen päällä ja kiertää sitä. Lentokoneen siipi poikkileikkaukseltaan (siipiprofiili) on kuvan 7 muotoinen. Nopeuksien laskeminen on melko yksinkertaista, kun virtaviivaisen rungon poikkileikkaus on ympyrä (eli runko itsessään on pyöreä sylinteri). Lentokoneen siiven ympärillä virtaavan ilmavirran hiukkasnopeuksien ongelman vähentämiseksi yksinkertaisemmaksi pyöreän sylinterin ympärillä olevan virtauksen ongelmaksi riittää, että kuvassa 7, a varjostettu tason osa (siiven ulkopuolella) kartoitetaan yhdenmukaisesti. ) toiseen kuviossa 7, b varjostettuun kuvioon (ympyrän ulkopuolella). Tällainen kartoitus suoritetaan käyttämällä jotakin kompleksisen muuttujan funktiota. Tämän toiminnon tunteminen mahdollistaa siirtymisen pyöreän sylinterin ympärillä olevan virtauksen nopeuksista lentokoneen siiven ohi kulkevan virtauksen nopeuksiin ja siten ratkaista ongelman kokonaan.

Kompleksisen muuttujan vastaavan funktion antama konforminen kartoitus mahdollistaa samalla tavoin sähköpotentiaalin ja lämpötilojen laskentaongelmien ratkaisun pelkistämisen mielivaltaisen muotoisten kappaleiden tapauksesta (mikä tahansa leikkausprofiili) yksinkertaisimpiin tapauksiin, joissa on ongelmia. ovat helposti ratkaistavissa.

Venäläinen ja neuvostoliittolainen tiedemies H. E. Žukovski (1847–1921) sovelsi menestyksekkäästi monimutkaisen muuttujan funktioteoriaa tärkeiden sovellettavien ongelmien ratkaisemiseen. Joten käyttämällä tämän teorian menetelmiä hän todisti päälauseen lentokoneen siiven nostovoimasta. V. I. Lenin kutsui H. E. Žukovskia "venäläisen ilmailun isäksi". Yhdessä puheessaan H. E. Zhukovsky sanoi: "... henkilöllä ei ole siipiä ja suhteessa hänen ruumiinsa painoon lihasten painoon, hän on 72 kertaa heikompi kuin lintu; ... se on lähes 800 kertaa ilmaa raskaampi, kun taas lintu on 200 kertaa ilmaa raskaampi. Mutta luulen, että hän lentää luottaen ei lihasten, vaan mielen vahvuuteen. (Zhukovsky N.E. Collected Works. - M. - L.: Gostekhizdat, 1950. -T. 7. - S. 16.) Käyttämällä kompleksisen muuttujan funktioteoriaa H.E. Zhukovsky ratkaisi ongelmia, jotka liittyvät veden tihkumiseen patojen läpi.

Lista voittaneesta kirjallisuudesta:

"Algebra" S. Leng Kustantaja MIR, Moskova, 1968

"Rengät ja moduulit" Lambek, Jochaim. Kustantaja MIR, Moskova, 1971

"Rings (Elements of Theory)", Mikhalevich Sh. Kh. Daugavpilsin pedagogisen instituutin kustantamo, 1973

"Algebra: renkaat, moduulit ja luokat" Feis K., MIR Publishing House, 1977

"Sormukset ja moduulit. Todennäköisyysteorian rajalauseet” Leningradin valtionyliopiston kustantamo, 1986

"Sormusten teoria", N. Jacobson, Valtion ulkomaisen kirjallisuuden kustanta, Moskova, 1947.

Jos sinun on nimettävä kahden kaupungin välinen etäisyys, voit antaa yhden numeron maileina, kilometreinä tai muina lineaarisen etäisyyden yksiköinä. Jos sinun on kuitenkin kuvattava, kuinka päästä kaupungista toiseen, sinun on annettava enemmän tietoa kuin vain kahden kartan pisteen välinen etäisyys. Tässä tapauksessa kannattaa kertoa suunnasta, johon sinun täytyy liikkua, ja noin.

Sellaista tietoa, joka ilmaisee yksiulotteisen ulottuvuuden, kutsutaan tieteessä skalaarisuureeksi. Skalaarit ovat lukuja, joita käytetään useimmissa matemaattisissa laskelmissa. Esimerkiksi kohteen massa ja nopeus ovat skalaarisuureita.

Jotta luonnonilmiöitä voidaan analysoida onnistuneesti, meidän on työskenneltävä abstraktien esineiden ja menetelmien kanssa, jotka pystyvät esittämään moniulotteisia suureita. Tässä on tarpeen luopua skalaariluvuista monimutkaisten lukujen hyväksi. Ne mahdollistavat kahden ulottuvuuden ilmaisemisen samanaikaisesti.

Kompleksiluvut on helpompi ymmärtää, kun ne esitetään graafisesti. Jos viivalla on tietty pituus ja suunta, tämä on graafinen esitys. Se tunnetaan myös yleisesti vektorina.

Erot kompleksisten ja skalaarisuureiden välillä

Sellaiset luvut kuin kokonaisluvut, rationaaliluvut ja reaaliluvut ovat tuttuja lapsille koulusta. Niillä kaikilla on yksiulotteisuus. Numeroviivan suoruus kuvaa tätä graafisesti. Voit liikkua sillä ylös tai alas, mutta kaikki "liikkeet" tällä viivalla rajoittuvat vaaka-akseliin. Yksiulotteiset skalaariluvut riittävät kappalemäärän laskemiseen, painon ilmaisemiseen tai akun tasajännitteen mittaamiseen. Mutta ne eivät voi tarkoittaa mitään monimutkaisempaa. Skalaarit eivät voi ilmaista samanaikaisesti kahden kaupungin välistä etäisyyttä ja suuntaa tai amplitudia vaiheen kanssa. Tämäntyyppiset luvut on esitettävä jo moniulotteisen arvoalueen muodossa. Toisin sanoen tarvitsemme vektorisuureita, joilla voi olla suuruuden lisäksi myös etenemissuunta.

Johtopäätös

Skalaariluku on eräänlainen matemaattinen esine, jota ihmiset ovat tottuneet käyttämään jokapäiväisessä elämässä - se on lämpötila, pituus, paino jne. Kompleksiluku on arvo, joka sisältää kahdenlaisia tietoja.

Vektori on graafinen esitys kompleksiluvusta. Se näyttää nuolelta, jolla on aloituspiste ja määrätty pituus ja suunta. Joskus sanaa "vektori" käytetään radiotekniikassa, jossa se ilmaisee signaalien välistä vaihesiirtoa.

Kun tutkittiin toisen asteen yhtälön ominaisuuksia, asetettiin rajoitus - nollaa pienemmälle erottajalle ei ole ratkaisua. Heti määrättiin, että puhumme joukosta reaalilukuja. Matemaatikon utelias mieli on kiinnostunut - mikä on todellisia arvoja koskevan varauksen salaisuus?

Ajan myötä matemaatikot esittelivät kompleksilukujen käsitteen, jossa miinus ykkösen toisen juuren ehdollinen arvo otetaan yksikkönä.

Historiallinen viittaus

Matemaattinen teoria kehittyy peräkkäin, yksinkertaisesta monimutkaiseen. Selvitetään, kuinka "kompleksiluku" -niminen käsite syntyi ja miksi sitä tarvitaan.

Muinaisista ajoista lähtien matematiikan perustana on ollut tavallinen tili. Tutkijat tunsivat vain luonnolliset arvot. Yhteen- ja vähennyslasku oli yksinkertaista. Taloudellisten suhteiden monimutkaistuessa alettiin käyttää kertolaskua samojen arvojen lisäämisen sijaan. Kerto- ja jakooperaatio oli käänteinen.

Luonnollisen luvun käsite rajoitti aritmeettisten operaatioiden käyttöä. On mahdotonta ratkaista kaikkia jako-ongelmia kokonaislukuarvojen joukossa. johti ensin rationaalisten merkityksien käsitteeseen ja sitten irrationaalisiin merkityksiin. Jos rationaalisille on mahdollista osoittaa pisteen tarkka sijainti viivalla, niin irrationaalisille on mahdotonta osoittaa tällaista pistettä. Voit vain arvioida välin. Rationaali- ja irrationaalilukujen liitto muodosti todellisen joukon, joka voidaan esittää tietyn mittakaavan tiettynä suorana. Jokainen askel viivalla on luonnollinen luku, ja niiden välissä ovat rationaaliset ja irrationaaliset arvot.

Teoreettisen matematiikan aikakausi alkoi. Tähtitieteen, mekaniikan, fysiikan kehitys vaati yhä monimutkaisempien yhtälöiden ratkaisemista. Yleensä toisen asteen yhtälön juuret löydettiin. Ratkaiseessaan monimutkaisempaa kuutiopolynomia tutkijat törmäsivät ristiriitaan. Negatiivisen kuutiojuuren käsite on järkevä, mutta neliöjuurelle saadaan epävarmuus. Lisäksi neliöyhtälö on vain kuutioyhtälön erikoistapaus.

Vuonna 1545 italialainen J. Cardano ehdotti imaginaariluvun käsitteen käyttöönottoa.

Tämä luku oli miinus ykkösen toinen juuri. Termi kompleksiluku muodostui lopulta vasta kolmesataa vuotta myöhemmin kuuluisan matemaatikon Gaussin teoksissa. Hän ehdotti kaikkien algebran lakien muodollista laajentamista imaginaarilukuihin. Todellinen linja on laajentunut tasolle. Maailma on kasvanut.

Peruskonseptit

Muista useita toimintoja, joilla on rajoituksia reaalijoukolle:

y = arcsin(x), määritelty arvoalueella negatiivisen ja positiivisen välillä.
y = ln(x), on järkevä positiivisille argumenteille.
neliöjuuri y = √x, laskettu vain arvolle x ≥ 0.

Merkitsemällä i = √(-1) esittelemme sellaisen käsitteen imaginaarilukuna, joka poistaa kaikki rajoitukset yllä olevien funktioiden määrittelyalueelta. Lausekkeet kuten y = arcsin(2), y = ln(-4), y = √(-5) ovat järkeviä jossain kompleksilukuavaruudessa.

Algebrallinen muoto voidaan kirjoittaa lausekkeena z = x + i×y todellisten x- ja y-arvojen joukkoon, ja i 2 = -1.

Uusi konsepti poistaa kaikki rajoitukset minkä tahansa algebrallisen funktion käytöltä ja muistuttaa ulkonäöltään suoran kaaviota reaali- ja imaginaariarvojen koordinaateissa.

Monimutkainen taso

Kompleksilukujen geometrinen muoto mahdollistaa visuaalisesti monien niiden ominaisuuksien esittämisen. Merkitsemme akselille Re(z) x:n todelliset arvot, Im(z):lle - y:n imaginaariset arvot, sitten tason piste z näyttää vaaditun kompleksiarvon.

Määritelmät:

Re(z) - reaaliakseli.
Im(z) - tarkoittaa imaginaarista akselia.
z on kompleksiluvun ehdollinen piste.
Vektorin pituuden numeerista arvoa nollapisteestä z:hen kutsutaan moduuliksi.
Todellinen ja kuvitteellinen akseli jakaa tason neljänneksiin. Koordinaattien positiivisella arvolla - I neljännes. Kun todellisen akselin argumentti on pienempi kuin 0 ja imaginaariakseli on suurempi kuin 0 - II neljännes. Kun koordinaatit ovat negatiivisia - III neljännes. Viimeinen, neljäs vuosineljännes sisältää monia positiivisia reaaliarvoja ja negatiivisia kuvitteellisia arvoja.

Siten tasossa, jossa on x- ja y-koordinaattiarvot, voidaan aina visualisoida kompleksiluvun piste. Symboli i otetaan käyttöön erottamaan todellinen osa kuvitteellisesta.

Ominaisuudet

Kun imaginaarisen argumentin arvo on nolla, saamme vain luvun (z = x), joka sijaitsee reaaliakselilla ja kuuluu todelliseen joukkoon.
Erikoistapauksessa, kun todellisen argumentin arvo on nolla, lauseke z = i×y vastaa pisteen sijaintia imaginaariakselilla.
Yleinen muoto z = x + i×y on argumenttien nollasta poikkeaville arvoille. Se tarkoittaa kompleksilukua kuvaavan pisteen sijaintia yhdessä neljänneksistä.

trigonometrinen merkintä

Muista polaarinen koordinaattijärjestelmä ja sinin ja cosin määritelmä. On selvää, että näiden funktioiden avulla on mahdollista kuvata minkä tahansa pisteen sijainti tasossa. Tätä varten riittää tietää napakeilan pituus ja kaltevuuskulma todelliseen akseliin nähden.

Määritelmä. Muotoa ∣z ∣ kerrottuna trigonometristen funktioiden cos(ϴ) ja imaginaariosan i ×sin(ϴ) summalla kutsutaan trigonometriseksi kompleksiluvuksi. Tässä nimitys on kaltevuuskulma todelliseen akseliin nähden

ϴ = arg(z) ja r = ∣z∣, säteen pituus.

Trigonometristen funktioiden määritelmästä ja ominaisuuksista seuraa erittäin tärkeä De Moivren kaava:

z n = r n × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

Tämän kaavan avulla on kätevää ratkaista monia trigonometrisiä funktioita sisältäviä yhtälöjärjestelmiä. Varsinkin kun esiin tulee eksponentiointitehtävä.

Moduuli ja vaihe

Monimutkaisen joukon kuvauksen täydentämiseksi ehdotamme kahta tärkeää määritelmää.

Pythagoraan lauseen tuntemalla on helppo laskea säteen pituus napakoordinaatistossa.

r = ∣z∣ = √(x 2 + y 2), tällaista kompleksiavaruuden merkintää kutsutaan "moduuliksi" ja se kuvaa etäisyyttä 0:sta tason pisteeseen.

Kompleksisen säteen kaltevuuskulmaa todelliseen linjaan ϴ kutsutaan yleisesti vaiheeksi.

Määritelmästä voidaan nähdä, että reaali- ja imaginaariosa kuvataan syklisillä funktioilla. Nimittäin:

x = r × cos(ϴ);
y = r × sin(ϴ);

Toisaalta vaihe liittyy algebrallisiin arvoihin kaavan kautta:

ϴ = arctan(x / y) + µ, korjaus µ otetaan käyttöön geometristen funktioiden jaksollisuuden huomioon ottamiseksi.

Eulerin kaava

Matemaatikot käyttävät usein eksponentiaalista muotoa. Kompleksitason luvut kirjoitetaan lausekkeeksi

z = r × e i × ϴ , mikä seuraa Eulerin kaavasta.

Tällainen tietue on yleistynyt fyysisten määrien käytännön laskennassa. Esitysmuoto eksponentiaalisten kompleksilukujen muodossa on erityisen kätevä teknisissä laskelmissa, joissa on välttämätöntä laskea piirejä sinimuotoisilla virroilla ja on tarpeen tietää funktioiden integraalien arvo tietyllä jaksolla. Itse laskelmat toimivat työkaluna erilaisten koneiden ja mekanismien suunnittelussa.

Toimintojen määrittely

Kuten jo todettiin, kaikki matemaattisten perusfunktioiden algebralliset lait koskevat kompleksilukuja.

summaoperaatio

Monimutkaisia arvoja lisättäessä lisätään myös niiden todelliset ja kuvitteelliset osat.

z = z 1 + z 2, missä z 1 ja z 2 ovat yleisiä kompleksilukuja. Muuntamalla lauseke, sulkujen avaamisen ja merkinnän yksinkertaistamisen jälkeen saamme todellisen argumentin x \u003d (x 1 + x 2), kuvitteellisen argumentin y \u003d (y 1 + y 2).

Kaaviossa tämä näyttää kahden vektorin yhteenlaskulta tunnetun suuntaviivasäännön mukaan.

vähennysoperaatio

Sitä pidetään lisäyksen erikoistapauksena, kun yksi luku on positiivinen, toinen on negatiivinen, eli sijaitsee peilineljänneksessä. Algebrallinen merkintätapa näyttää erolta todellisen ja imaginaariosan välillä.

z \u003d z 1 - z 2, tai argumenttien arvot huomioon ottaen, kuten summausoperaatiossa, saamme todellisille arvoille \u200b\u200bx \u003d (x 1 - x 2) ja imaginaarille y \u003d (y 1 - y 2).

Kertominen kompleksitasolla

Käyttämällä polynomien kanssa työskentelyn sääntöjä johdamme kaavan kompleksilukujen ratkaisemiseksi.

Seuraamalla yleisiä algebrallisia sääntöjä z=z 1 × z 2 kuvataan jokainen argumentti ja annetaan samanlaiset. Todellinen ja kuvitteellinen osa voidaan kirjoittaa seuraavasti:

x \u003d x 1 × x 2 - y 1 × y 2,
y = x 1 × y 2 + x 2 × y 1.

Se näyttää kauniimmalta, jos käytämme eksponentiaalisia kompleksilukuja.

Lauseke näyttää tältä: z = z 1 × z 2 = r 1 × e i ϴ 1 × r 2 × e i ϴ 2 = r 1 × r 2 × e i(ϴ 1+ ϴ 2) .

Division

Kun tarkastellaan jakooperaatiota kertolaskuoperaation käänteisfunktiona, saadaan yksinkertainen lauseke eksponentiaalisessa muodossa. Z 1:n arvon jakaminen z 2:lla on tulos niiden moduulien ja vaihe-eron jakamisesta. Muodollisesti, kun käytetään kompleksilukujen eksponentiaalista muotoa, se näyttää tältä:

z \u003d z 1 / z 2 \u003d r 1 × e i ϴ 1 / r 2 × e i ϴ 2 \u003d r 1 / r 2 × e i (ϴ 1- ϴ 2) .

Algebrallisen merkinnän muodossa kompleksitason lukujen jakaminen on kirjoitettu hieman monimutkaisemmin:

Kirjoittamalla argumentit ja suorittamalla polynomimuunnoksia on helppo saada arvot x \u003d x 1 × x 2 + y 1 × y 2, y \u003d x 2 × y 1 - x 1 × y 2, kuvatussa avaruudessa tämä lauseke on kuitenkin järkevä, jos z 2 ≠ 0.

Poimimme juuren

Kaikkea yllä olevaa voidaan soveltaa monimutkaisempien algebrallisten funktioiden määrittelyyn - nostaminen mihin tahansa potenssiin ja sen käänteis - juuren erottamiseen.

Käyttämällä yleistä käsitettä nostaa potenssiin n, saamme määritelmän:

zn = (r × e iϴ) n.

Yleisiä ominaisuuksia käyttämällä voimme kirjoittaa sen uudelleen muotoon:

z n = r n × e i ϴ n .

Saimme yksinkertaisen kaavan kompleksiluvun nostamiseksi potenssiksi.

Tutkinnon määritelmästä saamme erittäin tärkeän seurauksen. Imaginaarisen yksikön parillinen potenssi on aina 1. Mikä tahansa imaginaarisen yksikön pariton potenssi on aina -1.

Nyt tutkitaan käänteisfunktiota - juuren purkamista.

Merkinnän yksinkertaisuuden vuoksi otamme n = 2. Kompleksisen arvon z neliöjuureksi w kompleksitasolla C katsotaan yleensä lauseke z = ±, joka pätee mille tahansa todelliselle argumentille, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla. Kun w ≤ 0, ei ole ratkaisua.

Tarkastellaan yksinkertaisinta toisen asteen yhtälöä z 2 = 1. Kirjoitetaan kompleksilukujen kaavoilla uudelleen r 2 × e i 2ϴ = r 2 × e i 2ϴ = e i 0 . Tietueesta voidaan nähdä, että r 2 = 1 ja ϴ = 0, joten meillä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka on yhtä suuri kuin 1. Mutta tämä on ristiriidassa sen käsitteen kanssa, että z = -1, vastaa myös neliöjuuren määritelmää.

Selvitetään, mitä emme ota huomioon. Jos muistamme trigonometrisen merkinnän, palautamme lausunnon - vaiheen ϴ jaksoittaisella muutoksella kompleksiluku ei muutu. Olkoon p jakson arvo, niin meillä on r 2 × e i 2ϴ = e i (0+ p) , josta 2ϴ = 0 + p, tai ϴ = p / 2. Näin ollen meillä on e i 0 = 1 ja e i p / 2 = -1. Saimme toisen ratkaisun, joka vastaa yleistä käsitystä neliöjuuresta.

Joten löytääksemme kompleksiluvun mielivaltaisen juuren, noudatamme menettelyä.

Kirjoitetaan eksponentiaalinen muoto w= ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) , k on mielivaltainen kokonaisluku.
Haluttu luku voidaan esittää myös Euler-muodossa z = r × e i ϴ .
Käytetään juurierotusfunktion yleistä määritelmää r n *e i n ϴ = ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) .
Moduulien ja argumenttien yhtäläisyyden yleisistä ominaisuuksista kirjoitetaan r n = ∣w∣ ja nϴ = arg (w) + p×k.
Kompleksiluvun juuren lopullinen tietue kuvataan kaavalla z = √∣w∣ × e i (arg (w) + pk) / n .
Kommentti. Arvo ∣w∣ on määritelmän mukaan positiivinen reaaliluku, joten mikä tahansa potenssijuuri on järkevä.

Kenttä ja konjugaatio

Lopuksi annamme kaksi tärkeää määritelmää, joilla on vähän merkitystä kompleksilukujen sovellettavien ongelmien ratkaisemisessa, mutta ne ovat välttämättömiä matemaattisen teorian jatkokehityksessä.

Yhteen- ja kertolaskulausekkeiden sanotaan muodostavan kentän, jos ne täyttävät kompleksitason z minkä tahansa elementin aksioomit:

Monimutkaisten termien paikkojen muutoksesta kompleksisumma ei muutu.
Väite on totta - kompleksisessa lausekkeessa mikä tahansa kahden luvun summa voidaan korvata niiden arvolla.
On neutraali arvo 0, jolle z + 0 = 0 + z = z on tosi.
Jokaiselle z:lle on vastakohta - z, jonka lisäys antaa nollan.
Kun monimutkaisten tekijöiden paikkoja muutetaan, monimutkainen tuote ei muutu.
Minkä tahansa kahden luvun kertolasku voidaan korvata niiden arvolla.
On neutraali arvo 1, jolla kertominen ei muuta kompleksilukua.
Jokaiselle z ≠ 0:lle on käänteisluku z -1, joka kerrottuna antaa tulokseksi 1.
Kahden luvun summan kertominen kolmannella vastaa kunkin luvun kertomista tällä luvulla ja tulosten laskemista yhteen.
0 ≠ 1.

Lukuja z 1 = x + i×y ja z 2 = x - i×y kutsutaan konjugaateiksi.

Lause. Konjugaation osalta väite on totta:

Summan konjugaatio on yhtä suuri kuin konjugaattielementtien summa.
Tuotteen konjugaatio on yhtä suuri kuin konjugaatioiden tulo.
sama kuin itse numero.

Yleisalgebrassa tällaisia ominaisuuksia kutsutaan kenttäautomorfismeiksi.

Esimerkkejä

Noudattamalla yllä olevia kompleksilukujen sääntöjä ja kaavoja voit käyttää niitä helposti.

Tarkastellaan yksinkertaisimpia esimerkkejä.

Tehtävä 1. Määritä x ja y käyttämällä yhtälöä 3y +5 x i= 15 - 7i.

Ratkaisu. Muista kompleksisten yhtälöiden määritelmä, niin 3y = 15, 5x = -7. Siksi x = -7/5, y = 5.

Tehtävä 2. Laske arvot 2 + i 28 ja 1 + i 135 .

Ratkaisu. Ilmeisesti 28 on parillinen luku, kompleksiluvun määritelmän seurauksena potenssissa saamme i 28 = 1, mikä tarkoittaa, että lauseke on 2 + i 28 = 3. Toinen arvo, i 135 = - 1, sitten 1 + i 135 = 0.

Tehtävä 3. Laske arvojen 2 + 5i ja 4 + 3i tulo.

Ratkaisu. Kompleksilukujen kertolaskujen yleisistä ominaisuuksista saadaan (2 + 5i)X(4 + 3i) = 8 - 15 + i(6 + 20). Uusi arvo on -7 + 26i.

Tehtävä 4. Laske yhtälön z 3 = -i juuret.

Ratkaisu. On olemassa useita tapoja löytää kompleksiluku. Mietitään yhtä mahdollisista. Määritelmän mukaan ∣ - i∣ = 1, -i:n vaihe on -p / 4. Alkuperäinen yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon r 3 *e i 3ϴ = e - p/4+ pk , josta z = e - p / 12 + pk /3 , mille tahansa kokonaisluvulle k.

Ratkaisujoukon muoto on (e - ip/12 , e ip /4 , e i 2 p/3 ).

Miksi kompleksilukuja tarvitaan

Historia tuntee monia esimerkkejä siitä, kun tutkijat työskennellessään teorian parissa eivät edes ajattele tulosten käytännön soveltamista. Matematiikka on ennen kaikkea mielen leikkiä, tiukkaa syy-seuraus-suhteiden noudattamista. Lähes kaikki matemaattiset konstruktiot pelkistetään integraali- ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen, ja ne puolestaan ratkaistaan jollakin approksimaatiolla etsimällä polynomien juuret. Tässä kohtaamme ensimmäisenä imaginaarilukujen paradoksin.

Luonnontieteilijät, jotka ratkaisevat täysin käytännön ongelmia, turvautuvat erilaisten yhtälöiden ratkaisuihin, löytävät matemaattisia paradokseja. Näiden paradoksien tulkinta johtaa aivan uskomattomiin löytöihin. Sähkömagneettisten aaltojen kaksoisluonne on yksi tällainen esimerkki. Kompleksiluvuilla on ratkaiseva rooli niiden ominaisuuksien ymmärtämisessä.

Tämä puolestaan on löytänyt käytännön sovellusta optiikassa, radioelektroniikassa, energiassa ja monilla muilla teknologisilla aloilla. Toinen esimerkki, paljon vaikeammin ymmärrettäviä fyysisiä ilmiöitä. Antimateriaa ennustettiin kynän kärjessä. Ja vasta monien vuosien jälkeen aletaan yrittää syntetisoida se fyysisesti.

Ei pidä ajatella, että tällaisia tilanteita on vain fysiikassa. Yhtä mielenkiintoisia löytöjä tehdään villieläimistä, makromolekyylien synteesistä, tekoälyn tutkimuksen aikana. Ja kaikki tämä johtuu tietoisuutemme laajentumisesta, välttäen yksinkertaista luonnonarvojen lisäämistä ja vähentämistä.

Tieteellinen ja käytännön konferenssi

"Ensimmäiset askeleet tieteessä"

osio" Matematiikka"

Valmistunut: 9. luokan oppilas MBOU

"Mordovian-Paevskaya lukio"

Ivan Erotshkin

Valvoja: matematiikan opettaja

Kadyshkina N.V.

Insar 2014

SISÄLLYSLUETTELO

Johdanto……………………………………………………………………

Kompleksilukujen löytämisen historia ……………………………… 4

2.1. Suurten tiedemiesten sanontoja kompleksiluvuista... 4

2.2 Kompleksilukujen syntymisestä………………………………………

Pääosa

Kompleksilukujen määritelmä…………………………………. 8

2.1. Kompleksiluvun algebrallinen muoto………………8

2.2. Kompleksilukujen operaatiot……………………… 9

3. Yhtälöiden ratkaiseminen kompleksisella muuttujalla…………………… 12

4. Kompleksisen tason käsite………………………………….. 14

5. Kompleksiluvun geometrinen muoto……………………….. 15

6. Numeron trigonometrinen muoto……………………………………….. 17

7. Korottaminen kompleksiluvun potenssiin………………………. 19

Numeron eksponentiaalinen muoto………………………………………… 20

Missä kompleksilukuja käytetään? ................................................ .. 21

Johtopäätös. Johtopäätökset……………………………………………… 23

Viitteet……………………………………………………… 24

Testi aiheesta "Kompleksiset luvut"…………………………………. 25

Johdanto Muinaisina aikoina, kun ihmiset oppivat laskemaan, ihmiset oppivat määrän mittaa - numeroa. NUMERO - yksi matematiikan peruskäsitteistä, syntyi muinaisista ajoista ja laajeni ja yleistyi vähitellen. Viehättävä luonnonkauneudella, täynnä sisäistä harmoniaa, saavutettavissa, mutta silti käsittämätön, kätkeen monia salaisuuksia näennäisen yksinkertaisuuden taakse ... Elämässämme jokainen meistä pinoaa numeroita. Koulun opetussuunnitelman kulkua ja tulevaa elämää on vaikea kuvitella ilman niitä.

Luonnollinen, kokonainen, rationaalinen, irrationaalinen, todellinen. Ne kiehtovat minua vuosi vuodelta enemmän ja enemmän. Viime vuonna tein tutkimusta salaperäisestä numerosta pi. Olin kiinnostunut kompleksiluvuista. Kuulin niistä ensimmäisen kerran 8. luokalla, kun ratkaisin toisen asteen yhtälöitä. Luokalla 9 minulla oli vakavia ongelmia kuutioyhtälöiden ratkaisemisessa, joilla on oltava kolme juuria, koska polynomin jakamisen jälkeen lineaarisiin tekijöihin on tarpeen ratkaista toisen asteen yhtälö. Ja yhtäkkiä käy ilmi, että diskriminantti on negatiivinen, eli toisen asteen yhtälöllä ei ole juuria, koska kun löydän toisen asteen yhtälön juuria, minun on erotettava aritmeettinen neliöjuuri negatiivisesta luvusta. Ja tämä tarkoittaa, että kuutioyhtälöllä kolmen juuren sijasta on vain yksi juuri. Näin sain ristiriidan. Ja päätin tutkia sitä. Tällainen operaatio on mahdoton reaalilukujoukolla, mutta ei ollenkaan mahdoton. Kävi ilmi, että ratkaisemani yhtälön juuret kuuluvat kompleksilukujen joukkoon, joka sisältää luvun, jonka neliö on -1.Kiinnostukseni kasvoi entisestään, kun opin paljon kompleksiluvuista.

Työn tavoite: Tutkia kompleksilukuja matematiikan osa-alueena ja niiden roolia monilla matematiikan aloilla.

Tutkimustavoitteet:

1. Analysoi tätä asiaa koskevaa kirjallisuutta;

2. Järjestä tietoa numeroista;

3. Laajenna lukujoukkoja luonnollisesta kompleksiksi

uuden matemaattisen laitteen rakentaminen.

4. Paranna algebrallisten muunnosten tekniikkaa.

5. Arvioi kompleksilukujen merkitystä ja roolia matematiikassa, lisäämässä 9. luokan opiskelijoiden kiinnostusta kompleksilukujen opiskeluun, kehittääkseen heidän luovia ja tutkimuskykyään.

Ongelma: kompleksilukuja tutkivan osan puuttuminen algebran kurssin ohjelmista ja yleisten oppilaitosten analyysin alkamisesta.

Työhypoteesi: Oletetaan, että opiskelijoiden tutustuminen ja tutkiminen kompleksilukuihin antaa heille mahdollisuuden syventää tietojaan monilla matematiikan aloilla ja varustaa heidät lisätyökalulla erilaisten ongelmien ratkaisemiseen.

Opintojen aihe: kompleksiluvut.

Tutkimuksen kohde: lomakkeet kompleksiluvun ja niitä koskevien toimien määrittämiseen.

Tutkimusmenetelmät:

1. Kirjallisten lähteiden tutkiminen ja analysointi.

2. Käytännön ongelmien ratkaisu

3. Kehitä testi.

4. Kysely.

5. Analyysi tehdystä työstä.

Aiheen relevanssi.

Mielestäni aiheeniasiaankuuluvaa , koska vaikka nykyaikanamme on melko paljon tieteellistä ja opetuskirjallisuutta, mutta ei kaikissa julkaisuissa materiaali on esitetty selkeästi, ymmärrettävästi ja meille opiskelijoille. Kiinnostukseni kasvoi entisestään, kun opin paljon kompleksiluvuista. Tässä on tämän aiheen työni tulos.

Pääosa.

Kompleksilukujen löytämisen historia

Kuvitteellinen luku on kaunis ja upea jumalallisen hengen turvapaikka. melkein sammakkoeläin, jolla ei ole mitään. G. Leibniz

“Tämän tai toisen matemaatikon lisäksi ja jopa vastoin imaginaarilukuja esiintyy laskelmissa yhä uudestaan ja uudestaan, ja vasta vähitellen, kun niiden käytön hyödyt havaitaan, ne leviävät yhä laajemmin ”F. Klein.

Loppujen lopuksi kukaan ei epäile kuvitteellisilla suureilla laskettaessa saatujen tulosten tarkkuutta, vaikka ne ovatkin vain naurettavien määrien algebrallisia muotoja ja hieroglyfejä.

L. Carnot

Prosessi luvun käsitteen laajentamiseksi luonnollisesta todelliseen liittyi sekä käytännön tarpeisiin että itse matematiikan tarpeisiin. Muinaiset kreikkalaiset tiedemiehet pitivät vain luonnollisia lukuja "todellisina", mutta käytännön laskelmissa kaksi vuosituhatta eKr. fraktioita käytettiin jo muinaisessa Babylonissa ja muinaisessa Egyptissä. Seuraava tärkeä vaihe numerokäsitteen kehityksessä oli negatiivisten arvojen ilmaantuminen. Kiinalaiset tiedemiehet esittelivät ne kaksi vuosisataa eKr. e. ja antiikin kreikkalainen matemaatikko Diophantus sisään III vuosisadalla jKr e. tiesi jo kuinka toimia negatiivisestikiinteitä lukuja.

Matematiikassa niitä kutsutaan reaalilukujen joukoksi.

Kaikki reaaliluvut sijaitsevat numerorivillä:

Reaalilukujen seura on hyvin värikäs - tässä on kokonaislukuja ja murtolukuja, irrationaalisia lukuja. Tässä tapauksessa jokainen numeerinen piste vastaa välttämättä jotain reaalilukua.

SISÄÄN XIII vuosisadalla alkoi poimia neliöjuuriapositiivisista luvuista ja havaitsi sen negatiivisilla luvuillatämä operaatio ei ole mahdollista. Mutta sisäänXVI vuosisadalla tutkimuksen yhteydessämatematiikan kuutioyhtälöt kohtasivat ongelman:kuutioyhtälöiden tutkimuksen yhteydessä osoittautui tarpeelliseksi erottaa negatiivisista luvuista neliöjuuria.

klolinjaus on pakkonimiollakolme juuria. Ratkaistaessa sitä useinneliöjuuren alle ilmestyi negatiivinen luku. Kävi ilmi, että polku näihin juuriin johtaa negatiivisen luvun neliöjuuren erottamisen mahdottomaan operaatioon.

Tuloksena olevan paradoksin selittämiseksi italialainen algebraisti Girolamo Cardano vuonna 1545 ehdotti uudentyyppisten lukujen käyttöönottoa. Hän osoitti, että yhtälöjärjestelmä x + y = 10, xy = 40 jolla ei ole ratkaisuja reaalilukujen joukossa, on aina ratkaisu x = 5 ±
, y = 5 ±
, meidän tarvitsee vain suostua toimimaan tällaisten lausekkeiden perusteella tavallisen algebran sääntöjen mukaisesti ja olettaa, että se
∙
= - a. Cardano kutsui tällaisia määriä "puhtaiksi". negatiivinen" ja jopa "sofistisesti negatiivinen",mutta hän piti niitä täysin hyödyttöminä ja yritti olla käyttämättä niitä. Kuitenkin jo vuonna 1572 hänen maanmiehensä R. Bombelli julkaisi kirjan, jossa vahvistettiin ensimmäiset säännöt tällaisten lukujen aritmeettisille operaatioille aina luvuista poimimiseen asti.ne kuutiojuuret.

Nimi "kuvitteellinen numero" otettiin käyttöön vuonna 1637

Ranskalainen matemaatikko ja filosofi R. Descartes.

Ja vuonna 1777 yksi suurimmista algebraisteista XVIII luvulla - L. Euler - ehdotti käyttämään ranskan sanan ensimmäistä kirjaintakuvitteellinen (ajatella my) merkitsemään numeroai =
.

Tämä symboli tuli yleiseen käyttöön K. Gaussin ansiosta.Termi "kompleksiluvut ” myös Gauss esitteli vuonna 1831. Sana kompleksi (latinastakompleksi ) tarkoittaa yhteyttä, yhdistelmää, käsitejoukkoa, esinettä, ilmiötä jne., O muodostaen yhden kokonaisuuden.

XVII aikana luvulla jatkui keskustelu kuvitteellisten lukujen aritmeettisesta luonteesta, mahdollisuudesta antaa niille geometrinen perustelu.

Kompleksilukujen operaatiotekniikka kehittyi vähitellen. Reunalla XVII - XVIII vuosisatojen aikana rakennettiin yleinen teoria juuristan aste ensin negatiivisesta ja sen jälkeen kaikista kompleksiluvuista.

XVIII vuoden lopussa luvulla ranskalainen matemaatikko J. Lagrange pystyi sanomaan, että kuvitteelliset suureet eivät enää vaikeuta matemaattista analyysiä. Kompleksilukujen avulla he oppivat ilmaisemaan lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuja vakiokertoimella. Tällaisia yhtälöitä kohdataan esimerkiksi materiaalipisteen värähtelyteoriassa vastustavassa väliaineessa.

J. Bernoulli käytti kompleksilukuja integraalien laskemiseen. Vaikka aikana XVIII luvulla kompleksilukujen avulla ratkaistiin monia kysymyksiä, mukaan lukien kartografiaan, hydrodynamiikkaan jne. liittyvät sovelletut ongelmat, mutta näiden lukujen teorialle ei silti ollut tiukkaa perustetta. Siksi ranskalainen tiedemies P. Laplace uskoi, että kuvitteellisten lukujen avulla saadut tulokset ovat vain suuntaa antavia, ja ne saavat todellisten totuuksien luonteen vasta suorien todisteiden vahvistamisen jälkeen. Lopussa XVIII - alku XIX vuosisatojen aikana saatiin kompleksilukujen geometrinen tulkinta. Tanskalainen G. Wessel, ranskalainen J. Argan ja saksalainen K. Gauss ehdottivat itsenäisesti edustamaan kompleksilukua z \u003d a + bi piste M (a, b ) koordinaattitasolla. Myöhemmin kävi ilmi, että oli vielä kätevämpää esittää lukua ei itse pisteellä M, vaan vektorilla OM, joka menee tähän pisteeseen origosta. Tällä tulkinnalla kompleksilukujen yhteen- ja vähennyslasku vastaavat samoja vektoreita koskevia operaatioita.

Kompleksilukujen geometriset tulkinnat mahdollistivat monien kompleksisen muuttujan toimintoihin liittyvien käsitteiden määrittelyn ja laajensivat niiden käyttöaluetta. Kävi selväksi, että kompleksiluvut ovat hyödyllisiä monissa kysymyksissä, joissa ne käsittelevät suureita, joita vektorit edustavat tasossa: nestevirtauksen tutkimuksessa, elastisuusteorian ongelmissa, teoreettisessa sähkötekniikassa.

Venäläiset ja Neuvostoliiton tutkijat antoivat suuren panoksen monimutkaisen muuttujan funktioteorian kehittämiseen: R.I. Muskhelishvili oli mukana soveltamisessaan elastisuusteoriaan, M.V. Keldysh ja M.A. Lavrentiev - aerodynamiikkaan ja hydrodynamiikkaan, N.N. Bogolyubov ja V.S. Vladimirov - kvanttikenttäteorian ongelmiin.

Kompleksilukujen määritelmä

3.1 Kompleksiluvun algebrallinen muoto

kompleksiluku z kutsutaan ilmaisuksi z = a + b i, Missä a Ja b ovat todellisia lukuja,i 2 = -1,

a = Re z – todellinen osa z (todellinen) (Re, ranskasta ré ele - "todellinen", "pätevä");

b = Olen z kuvitteellinen osa z (Im, ranskasta imaginaire - "imaginary") .

b – kompleksiluvun imaginaariosan kerroin.

Kompleksiluvun kirjoittaminen z muodossa a + ib kutsutaan kompleksiluvun algebralliseksi muodoksi.

Jos a 0, sisään 0, tuo numero z- kuvitteellinen ( z = 37 - 6 i ).

E jos a = 0 , V 0, tuo numero z on puhdas kuvitteellinen luku ( z = 22 i) .

Jos a 0, =0, z on reaaliluku ( z = -5).

i:n voimat:

I 1 = i
i 4n+1 = i;

i 2 = - 1
i 4n+2 = -1;

i 3 = i 2 i
i 4n+3 = - i

i 4 = (i 2 ) 2 = 1
i 4 n = 1.

Kaavoista seuraa, että yhteen- ja kertolasku voidaan suorittaa polynomien operaatiosääntöjen mukaisesti, olettaen i 2 = -1. Kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskuoperaatioilla on reaalilukujen ominaisuuksia. Perusominaisuudet:

Siirrä omaisuus:

Z 1 + Z 2 \u003d Z 2 + Z 1, Z 1 Z 2 \u003d Z 2 Z 1

Assosiatiivinen ominaisuus:

(Z 1 + Z 2) + Z 3 \u003d Z 1 + (Z 2 + Z 3), (Z 1 Z 2) Z 3 \u003d Z 1 (Z 2 Z 3)

Jakeluominaisuus:

Z 1 (Z 2 + Z 3) \u003d Z 1 Z 2 + Z 1 Z 3

kahden vastakkaisen luvun summa on 0 (z + (- z ) = 0)

Kompleksiluku on yhtä suuri kuin nolla, jos reaaliosa ja imaginaariosa ovat vastaavasti nolla.

3.2 Kompleksilukujen operaatiot.

Algebralliseen muotoon kirjoitetuille kompleksiluvuille on mahdollista suorittaa kaikki aritmeettiset operaatiot kuten tavallisilla binomiaaleilla, kun otetaan huomioon vain, että i 2 = -1.

Kompleksilukujen yhteen- ja vähennyslasku.

Kompleksilukujen summa z 1 \u003d a 1 + b 1 i ja z 2 \u003d a 2 - b 2 i on yhtä suuri kuin:
z 1 + z 2 \u003d (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i

Esimerkki 1

Lisää kaksi kompleksilukuaz 1 = 1 +3 i, z 2 =4-5 i

Voit lisätä kaksi kompleksilukua lisäämällä niiden reaali- ja imaginaariosat:

z 1 + z 2 \u003d 1 + 3i + 4 -5i \u003d 5 -2i

Kompleksin ero z 1 = a 1 + b 1 i Ja z 2 = a 2 – b 2 i numerot ovat yhtä suuret osoitteessa:

z 1 - z 2 \u003d (a 1 - a 2) + (b 1 - b 2) i

Esimerkki 2

Etsi kompleksilukujen erotz 1 = -2 + iJaz 2 = 4 i -2

Toiminto on samanlainen kuin lisäys, ainoa ominaisuus on, että aliosa on otettava suluissa ja sitten normaalisti avattava nämä sulut etumerkin muutoksella:

z 1 - z 2 \u003d (-2 + i) - (4i - 2) \u003d -2 + I - 4i +2 \u003d - 3i

Kompleksilukujen kertolasku

Kompleksilukujen tulo z 1 \u003d a 1 + b 1 i ja z 2 \u003d a 2 - b 2 i on yhtä suuri kuin:

z 1 z 2 \u003d (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 2 b 1 + b 2 a 1) i

Esimerkki 3 Etsi kompleksilukujen tulo

z 1 \u003d 1 - i, z 2 \u003d 3 + 6i

z 1 z 2 \u003d (1 -i) (3 + 6i) \u003d 1 3 -i 3 + 1 6i - i 6i \u003d 3- 3i + 6i +6 \u003d 9 + 3i

Kompleksilukujen jako

Kompleksilukujen osamäärä z 1 = a 1 + b 1 · i Ja z 2 = a 2 – b 2 · i vastaa:

Esimerkki 4. Olkoon z 1 \u003d 13 + i, z 2 \u003d 7 - 6 i

Osamäärän löytämiseksi kerro ensin murtoluvun osoittaja ja nimittäjä nimittäjän konjugaatilla ja suorita sitten loput operaatiot.

Juurien erottaminen kompleksiluvuista.

Etkö voi purkaa juuria? Jos puhumme todellisista luvuista, se on todella mahdotonta. Kompleksiluvuissa voit poimia juuren - voit! Tarkemmin, kaksi juuri:

Ovatko löydetyt juuret todella yhtälön ratkaisu? Tarkistetaan:

Näitä juuria kutsutaan myös konjugoida monimutkaisia juuria.

Kun erotamme negatiivisista luvuista neliöjuuria, saamme kaksi konjugoida monimutkaisia juuria.

Esimerkiksi, , , , ,

Yhtälöiden ratkaiseminen kompleksisella muuttujalla

Ensin tarkastelin yksinkertaisinta toisen asteen yhtälöä z 2 = a , jossa a - tietty numero, z on tuntematon. Reaalilukujen joukossa tämä yhtälö on:

1) on yksi juuri z = 0, jos a = 0;

2) sillä on kaksi todellista juurta z 1,2 = ±
jos a > 0;

3) sillä ei ole todellisia juuria jos a< 0;

4) kompleksilukujen joukossa tällä yhtälöllä on aina juuri.

Yleisesti ottaen yhtälö z 2 = a , jossa a < 0 имеет два комплексных корня: z 1,2 =±
minä .

Tasa-arvon käyttäminen minä 2 = -1, negatiivisten lukujen neliöjuuret kirjoitetaan yleensä seuraavasti:
= minä,
= i
= 2 i ,
= i
.

Niin,
määritelty mille tahansa reaaliluvulle a (positiivinen, negatiivinen ja nolla). Joten mikä tahansa toisen asteen yhtälö

az 2 + bz + c = 0, missä a , b , s ovat reaalilukuja, a ≠ 0, on juuret. Nämä juuret löytyvät tunnetun kaavan mukaan:

z 1, 2 =
.

On myös totta, että mikä tahansa asteyhtälön on tarkalleen n juuret, kun taas niiden joukossa voi olla samoja ja monimutkaisia.

On mahdotonta olla ottamatta huomioon yhtä matematiikan kauneimmista kaavoista - Cardanon kaavaa muodon kuutioyhtälön juurien laskemiseen x 3 + px + q = 0:

Esimerkki 5 Ratkaise toisen asteen yhtälö

Syrjivä:

D<0, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!

On kaksi juurta:

ovat konjugoituja monimutkaisia juuria

Siis yhtälö sillä on kaksi konjugaattikompleksijuurta: ,

Ja yleensä kaikilla yhtälöillä, joissa on "n:nnen" asteen polynomi, on täsmälleen juuret, joista jotkut voivat olla monimutkaisia.

Monimutkaisen tason käsite.

Jos mikä tahansa reaaliluku voidaan esittää geometrisesti pisteenä lukusuoralla, niin kompleksilukua edustaa tason piste, jonka koordinaatit ovat vastaavasti kompleksiluvun reaali- ja imaginaariosa Kirjain R on tapana merkitä reaalilukujen joukkoa.Joukkokompleksiluvut yleensä merkitään kirjaimella C. Tässä tapauksessa vaaka-akseli on todellinen numeerinen akseli ja pystyakseli on kuvitteellinen akseli.

Siten reaaliluvut sijaitsevat x-akselilla ja o-akselilla Y ovat puhtaasti kuvitteellisia:

Piirustuksen suunnittelun säännöt ovat lähes samat kuin suorakulmaisessa koordinaatistossa. Akseleita pitkin sinun on asetettava mitta, huomaa: nolla; yksikkö todellista akselia pitkin; kuvitteellinen yksikkö imaginaarista akselia pitkin.

Esimerkki 6. Muodosta seuraavat kompleksiluvut kompleksitasolle:

Reaalilukujen joukkoon osajoukko kompleksilukujen joukosta.

6. Kompleksiluvun geometrinen muoto.

KANSSA Sana "kompleksi" latinaksi tarkoittaa "komposiittia", "kompleksia". Huolimatta siitä, että kompleksilukujen kanssa ei ole vaikeampaa työskennellä kuin reaalilukujen kanssa, kompleksilukuja pidettiin 1800-luvun alkuun asti erittäin monimutkaisena, epäselvänä, melkein mystisenä esineenä. Paremman käytön arvoisella sitkeydellä käytiin pitkä kamppailu "kuvitteellisten" lukujen kannattajien ja vastustajien välillä. Vastustajien tärkein vastalause oli seuraava: muodon ilmaus a+ib merkityksetöntä, koska i ei ole reaaliluku, eikä siksi ole ollenkaan luku; Siksi i ei voida kertoa reaaliluvulla.

Kompleksilukuteorian asettamiseksi vankalle perustalle sen eksplisiittinen rakenne oli tarpeen, mieluiten geometrinen. Halu saada kompleksilukujoukon geometrinen toteutus ei ole sattumaa, jos muistamme, että myös reaalilukujoukko on meille erottamaton "todellisesta suorasta", jolla on kiinteä piste, joka edustaa nollaa, ja kiinteä piste. asteikko, joka määräytyy numeron 1 sijainnin mukaan.

Ensimmäistä kertaa geometristen operaatioiden esityksen kompleksiluvuilla esitti tanskalainen maanmittaaja K. Wessel vuonna 1799 ja itsenäisesti ranskalainen matemaatikko J. Argan vuonna 1806. Se sai kuitenkin yleisen tunnustuksen vasta 1700-luvun 30-luvulla saksalaisen matemaatikon F. Gaussin ja englantilaisen matemaatikon W. Hamiltonin työn jälkeen. Kompleksilukujen geometrisen tulkinnan ideana on, että niitä ei esitetä suoran pisteillä, kuten reaaliluvuilla, vaan tason pisteillä.

Monimutkainen lukuz = a + b i on kuvattu tasossa, jossa on suorakulmaiset suorakulmaiset koordinaatit pisteellä, jolla on koordinaatit (a;b). Tämä

kohta on merkitty samalla kirjaimellaz . Reaalilukuja edustavat abskissa-akselin pisteet ja puhtaasti imaginaariluvut ordinaatta-akselin pisteillä.

Kompleksiluku esitetään myös vektorina kompleksitasolla, jonka origo on pisteessä NOIN ja päättyy pisteeseen M.

Kompleksilukujen summa muodostetaan tavanomaisen vektorien yhteenlaskusäännön mukaan eli suunnikassäännön mukaan

Kompleksilukujen ero rakennetaan vektorivähennyssäännön mukaan:

7. Kompleksiluvun trigonometrinen muoto.

Mielivaltainen kompleksiluku z = a + bi esitetään sädevektorina
monimutkaisella tasolla. Antaa N – pisteprojektio M todelliselle akselille. Suorakulmaisessa kolmiossa OMN jalkojen pituudet ON ja OM vastaavasti yhtä suuret a ja b ja hypotenuusan pituus OM on
. Trigonometriasta tiedetään, että jalan pituuden suhde hypotenuusan pituuteen on yhtä suuri kuin sisällytetyn kulman kosini ja vastakohdan sini. Siten,

a = Rez = | z | ∙ cos φ ,

b = Im z = | z | ∙ sin φ ,

Missä φ –
- kompleksiluvun pääargumentti (vaihe, amplitudi). z , - < φ < (kulmaφ välillä reaaliakselin positiivinen puoliakseli Rez ja sädevektori piirretty origosta vastaavaan pisteeseen). Sitten kompleksiluku voidaan esittää kuten:

Tätä kirjoitusmuotoa kutsutaan kompleksiluvun trigonometrinen muoto.

Esimerkki 7:Ratkaisu:
Esitetään numero trigonometrisessa muodossa. Etsi sen moduuli ja argumentti. . Siitä lähtien (tapaus 1), sitten . Täten: on trigonometrisessa muodossa oleva luku.

Kompleksilukujen tulo ja osamäärä trigonometrisessa muodossa

Kaikki algebralliset operaatiot kompleksiluvuilla, jotka on annettu trigonometrisessa muodossa, suoritetaan samojen sääntöjen mukaan kuin algebrallisessa muodossa annetut kompleksiluvut. Kompleksilukujen lisääminen ja vähentäminen on helpompaa ja kätevämpää, kun ne annetaan algebrallisessa muodossa ja kertominen ja jakaminen trigonometrisessa muodossa. Lauseita on kolme.

Lause 1. Kun kerrotaan mikä tahansa äärellinen määrä kompleksilukuja, niiden moduulit kerrotaan ja argumentit lisätään.

Lause 2. Kompleksilukuja jaettaessa niiden moduulit jaetaan ja argumentit vähennetään.

Lause 3. Olkoon z on monimutkainen ja n - luonnollinen luku. Kompleksilukujen joukossa lauseke
osoitteessa z =0:lla on yksi arvo, joka on yhtä suuri kuin nolla, ja milloin z 0-n erilaisia arvoja. Jos z = r( cos + i synti ), nämä arvot löydetään kaavasta

=
(cos
+ i synti
), \u003d 0,1, ..., n -1.

Esimerkki 8. Etsi tuote: ,

8. Kompleksilukujen nostaminen potenssiin

Kompleksiluvun neliöinti

Kompleksiluvulle on helppo johtaa oma lyhennetty kertolasku:
. Samanlainen kaava voidaan johtaa erotuksen neliölle sekä summan kuutiolle ja erotuksen kuutiolle. Entä jos kompleksiluku on korotettava esimerkiksi 5., 10. tai 100. potenssiin? On selvää, että algebrallisessa muodossa on käytännössä mahdotonta suorittaa tällaista toimintaa, todellakin, kuinka ratkaista esimerkki, kuten ?

Ja tässä kompleksiluvun trigonometrinen muoto tulee apuun ja ns De Moivren kaava.

(Abraham de Moivre (1667 - 1754) - englantilainen matemaatikko).

Kompleksilukujen kertolaskuoperaatiosta seuraa, että

Yleensä saamme:

Missä n – positiivinen kokonaisluku.

Esimerkki 7. Kun kompleksiluku on annettu, etsi .

Ensin sinun on esitettävä annettu numero trigonometrisessa muodossa.

Sitten De Moivren kaavan mukaan:

9. Kompleksiluvun eksponentiaalinen muoto

=8 + 6 i

10. Missä kompleksilukuja käytetään?

Viimeisten kahdensadan vuoden aikana kompleksiluvut ovat löytäneet lukuisia ja joskus täysin odottamattomia sovelluksia. Joten esimerkiksi kompleksilukujen avulla Gauss löysi vastauksen puhtaasti geometriseen kysymykseen: mille luonnolliselle n:lle säännöllinen n-kulmio voidaan rakentaa kompassilla ja viivaimella? Koulun geometriakurssilta tiedetään, kuinka kompassilla ja viivaimella rakennetaan säännöllisiä monikulmioita: säännöllinen kolmio, neliö, säännöllinen 6 kulmio (sen sivu on yhtä suuri kuin sen ympärille piirretyn ympyrän säde). Vaikeampaa on tavallisten 5-gon ja 15-gon rakentaminen. Huolimatta monien merkittävien antiikin kreikkalaisten geometrien ja muiden tutkijoiden suurista ponnisteluista kukaan ei onnistunut rakentamaan säännöllistä seitsemänkulmiota tai tavallista 9-reikäistä. Ei myöskään ollut mahdollista muodostaa säännöllistä p-gonia millekään alkuluvulle p, paitsi p = 3 ja p = 5. Yli kahteen tuhanteen vuoteen kukaan ei kyennyt etenemään tämän ongelman ratkaisemisessa. Vuonna 1796 Carl Friedrich Gauss, 19-vuotias matematiikan opiskelija Göttingenin yliopistosta, osoitti ensimmäisen kerran mahdollisuuden rakentaa säännöllinen 17-kulmainen kompassin ja suoraviivan avulla. Se oli yksi matematiikan historian hämmästyttävimmistä löydöistä. Seuraavien vuosien aikana Gauss ratkaisi täysin säännöllisten n-kulmien rakentamisen ongelman. Gauss osoitti, että säännöllinen N-kulmio, jossa on pariton määrä sivuja (pisteitä), voidaan muodostaa käyttämällä kompassia ja suoraviivaa, jos ja vain jos N on Fermat-alkuluku tai useiden eri Fermat-alkulukujen tulo. (Fermat-luvut ovat muotoa F n \u003d + 1 Jos n \u003d 0, 1, 2, 3, 4 nämä luvut ovat alkulukuja, n \u003d 5 luku F 5 on yhdistetty. Tästä tuloksesta se seurasi että säännöllisen monikulmion rakentaminen on mahdotonta, kun N = 7, 9, 11, 13. On helppo nähdä, että säännöllisen n-kulmion muodostamisongelma vastaa ongelmaa säteisen R = 1 ympyrän jakamisesta n yhtä suuret osat astetta yksiköstä.

Venäläinen ja Neuvostoliiton tiedemies H. E. Žukovski (1847–1921) sovelsi menestyksekkäästi

monimutkaisen muuttujan funktioiden teoria tärkeiden sovellettavien ongelmien ratkaisemiseksi.

Joten käyttämällä tämän teorian menetelmiä hän todisti päälauseen lentokoneen siiven nostovoimasta. V. I. Lenin kutsui H. E. Žukovskia "venäläisen ilmailun isäksi". Yhdessä puheessaan H. E. Zhukovsky sanoi: "... henkilöllä ei ole siipiä ja suhteessa hänen ruumiinsa painoon lihasten painoon, hän on 72 kertaa heikompi kuin lintu; ... se on lähes 800 kertaa ilmaa raskaampi, kun taas lintu on 200 kertaa ilmaa raskaampi. Mutta luulen, että hän lentää luottaen ei lihasten, vaan mielen vahvuuteen. Kompleksisen muuttujan funktioteorian avulla H.E. Zhukovsky ratkaisi ongelmia, jotka liittyvät veden tihkumiseen patojen läpi.

Monimutkaisia lukuja tarvitaan muiden korkeamman matematiikan osien tehtävien suorittamiseen, lisäksi niitä käytetään käytännössä varsin materiaalitekniikan laskelmissa.

11. Johtopäätös

Yleisesti ottaen uskon, että hänen työnsä tarkoitus ja tehtävät on täytetty. Olen itse perehtynyt aiheeseen. Opintojen aikana opiskelin paljon kirjallisuutta tästä aiheesta. Lukeessani erilaisia kirjoja panin itselleni merkille mielenkiintoisimmat, yksinkertaisimmat ja kauneimmat tosiasiat tästä aiheesta, samalla kun yritin esittää ne omassa valossani, rationaalisimmalla tavalla.

Työni etuja ovat esityksen lyhyys ja yksinkertaisuus, kompleksilukujen tiedon yhdistäminen yhdessä, saavutettavuus.

Pidän työni hyödyllisenä ja merkityksellisenä niille opiskelijoille, jotka haluavat oppia lisää koulun opetussuunnitelmasta.

Opiskelun aikana pidin luokassani useita istuntoja. Mutta koska luokallamme on vain 2 oppilasta minun lisäksi, ei ollut mahdollista jäljittää tiedon laadun paranemista, koska he voivat hyvin. Mutta olen iloinen, että kaikki halusivat jatkaa tämän aiheen opiskelua 10. luokalla.

Omat havainnot:

1. Erilaisia kirjallisia lähteitä on tutkittu, aineistoa on valittu, joka antaa täydellisimmän kuvan kompleksiluvuista, niiden löytämisen historiasta, roolista ja merkityksestä matematiikan eri aloilla. Näille luvuille suoritetut aritmeettiset operaatiot määritellään ja tarkastellaan, esimerkit valitaan ja ratkaistaan kompleksilukujen avulla.

2. Kompleksilukujen merkitys ja rooli useiden matemaattisten ongelmien ratkaisemisessa arvioidaan.

3. Jos lukuvuoden alussa 9. luokan oppilaiden tietoisuuden ja tietämyksen taso kompleksiluvuista voidaan arvioida alhaiseksi, niin lukuvuoden loppuun mennessä kiinnostus matematiikan opiskelua, näkemyksen laajentamista kohtaan lisääntyi. onnistuneesti ratkaisemaan monia monimutkaisempia ongelmia.

12. Viitteet

1. A.G. Mordkovich. Algebra ja analyysin alku. 10 solua Moskova: Mnemosyne, 2006.

2. M. Ya. Vygodsky; Perusmatematiikan käsikirja. M.: Valtion fyysisen ja matemaattisen kirjallisuuden kustantaja, 1960.

3. N.Ya. Vilenkin et al. Algebra ja matemaattinen analyysi. 11 solua Moskova: Mnemosyne, 2004.

4. A.G. Mordkovich. Algebra ja analyysin alku. 10 solua Moskova: Mnemosyne, 2006.

5. Matematiikan historia koulussa, toimittanut G. I. Glazer. - Moskova-1983.

6. Valitut matematiikan kysymykset, toimittanut IN Antipov. - Moskova-1979.

7. N. Ya. Vilenkinin toimittaman matematiikan oppikirjan sivujen takana. - Moskova-1996.

8. Huom. Alfutov. Algebra ja lukuteoria. M.: MTsNMO, 2005.

Testi aiheesta "Kompleksiset luvut"

Kuinka monta merkintää kompleksiluvulla on?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

Mikä on numero minä?

a) luku, jonka neliö on 1

b) luku, jonka neliö on -1

c) luku, jonka neliöjuuri on -1

d) luku, jonka neliöjuuri on 1

De Moivren kaavaa voidaan soveltaa, jos kompleksiluku kirjoitetaan:

Eulerin kaavaa voidaan käyttää, jos kompleksiluku kirjoitetaan:

a) ohjeellisessa muodossa b) visuaalisessa muodossa

c) trigonometrinen muoto d) algebrallinen muoto

Miten kompleksiluku esitetään lukutasolla?

a) jana b) piste- tai sädevektorina

c) tasainen geometrinen kuvio c) ympyrän muodossa

Valitse annetuista puhtaasti kuvitteellisista numeroista:

A) z =3 +6 i b) z 2 =6 i V) z 2 = 31 g) z 2 =0

Laske lukujen z 1 =7 +2i ja z 2 =3 +7 i summa

A ) z =10 +9i b) z =4-5i c) z =10 -5i d) z =4 +5i

8. Esitä kompleksiluku z \u003d 3 + 4i trigonometrisessa muodossa

a) on sädevektori b) z =5(0,6 +0,8i )

V) z =3 -4i d) on piste koordinaattitasolla

9. Mikä sarja sisältää numerot 5; 3; -6i ;2,7; 2i?

a) reaaliluvut b) rationaaliluvut

c) kompleksiluvut d) irrationaaliset luvut

10. Kuka otti käyttöön nimen "kuvitteellinen numero"?

a) Descartes b) Argan

c) Euler d) Cardano