Tarkastellaan toisen asteen yhtälöä.

Määritellään sen juuret.

Ei ole olemassa reaalilukua, jonka neliö on -1. Mutta jos kaava määrittelee operaattorin i imaginaariyksikkönä, niin tämän yhtälön ratkaisu voidaan kirjoittaa muotoon . Jossa Ja - kompleksiluvut, joissa -1 on reaaliosa, 2 tai toisessa tapauksessa -2 on imaginaariosa. Kuvitteellinen osa on myös todellinen (reaali)luku. Kuvitteellinen osa kerrottuna imaginaarisella yksiköllä tarkoittaa jo kuvitteellinen luku.

Yleensä kompleksiluvulla on muoto

z = x + iy ,

Missä x, y ovat reaalilukuja, on kuvitteellinen yksikkö. Useissa soveltavissa tieteissä, esimerkiksi sähkötekniikassa, elektroniikassa, signaaliteoriassa, imaginaariyksikköä merkitään j. Oikeita lukuja x = Re(z) Ja y=Olen(z) nimeltään todellisia ja kuvitteellisia osia numeroita z. Ilmaisua kutsutaan algebrallinen muoto kompleksiluvun merkintä.

Mikä tahansa reaaliluku on muodossa olevan kompleksiluvun erikoistapaus . Imaginaariluku on myös kompleksiluvun erikoistapaus. .

Kompleksilukujoukon C määritelmä

Tämä lauseke kuuluu seuraavasti: set KANSSA, joka koostuu sellaisista elementeistä x Ja y kuuluvat reaalilukujen joukkoon R ja on kuvitteellinen yksikkö. Huomaa, että jne.

Kaksi kompleksilukua Ja ovat samanarvoisia silloin ja vain, jos niiden reaali- ja imaginaariosa ovat yhtä suuret, ts. Ja .

Monimutkaisia ​​lukuja ja funktioita käytetään laajalti tieteessä ja tekniikassa, erityisesti mekaniikassa, vaihtovirtapiirien analysoinnissa ja laskennassa, analogisessa elektroniikassa, signaaliteoriassa ja -käsittelyssä, automaattiohjausteoriassa ja muissa soveltavissa tieteissä.

1. Kompleksilukujen aritmetiikka

Kahden kompleksiluvun yhteenlasku koostuu niiden reaali- ja imaginaariosien yhteenlaskemisesta, ts.

Vastaavasti kahden kompleksiluvun ero

Monimutkainen luku nimeltään monimutkainen konjugaatti määrä z=x +i.y.

Kompleksikonjugaattiluvut z ja z * eroavat imaginaariosan etumerkeissä. Se on selvää

.

Mikä tahansa monimutkaisten lausekkeiden välinen tasa-arvo pysyy voimassa, jos tässä yhtäläisyydessä on kaikkialla i korvattu - i, eli siirry konjugaattilukujen yhtälöön. Numerot i Ja – i ovat algebrallisesti erottamattomia, koska .

Kahden kompleksiluvun tulo (kertolasku) voidaan laskea seuraavasti:

Kahden kompleksiluvun jako:

Esimerkki:

1. Monimutkainen taso

Kompleksiluku voidaan esittää graafisesti suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä. Asetetaan tasoon suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä (x, y).

akselilla Härkä järjestämme oikeat osat x, sitä kutsutaan todellinen (todellinen) akseli, akselilla Oy– kuvitteelliset osat y kompleksiluvut. Hän kantaa nimeä kuvitteellinen akseli. Lisäksi jokainen kompleksiluku vastaa tiettyä tason pistettä, ja tällaista tasoa kutsutaan monimutkainen taso. kohta A kompleksitaso vastaa vektoria OA.

Määrä x nimeltään abskissa kompleksiluku, luku y – ordinaattinen.

Kompleksikonjugaattilukupari näytetään pisteinä, jotka sijaitsevat symmetrisesti todellisen akselin ympärillä.

Jos lentokoneessa asetettu napakoordinaattijärjestelmä, sitten jokainen kompleksiluku z määritetään napakoordinaateilla. Jossa moduuli numeroita on pisteen napainen säde ja kulma - sen napakulma tai kompleksilukuargumentti z.

Kompleksiluvun moduuli aina ei negatiivinen. Kompleksiluvun argumenttia ei ole määritelty yksiselitteisesti. Argumentin pääarvon on täytettävä ehto . Jokainen kompleksitason piste vastaa myös argumentin kokonaisarvoa. Argumentit, jotka eroavat 2π:n kerrannaisesti, katsotaan yhtäläisiksi. Numeroargumenttia nolla ei ole määritetty.

Argumentin pääarvon määrittävät lausekkeet:

Se on selvää

Jossa
, .

Kompleksilukuesitys z kuten

nimeltään trigonometrinen muoto kompleksiluku.

Esimerkki.

1. Kompleksilukujen eksponentiaalinen muoto

Hajoaminen sisään Maclaurin-sarja todellisille argumenttifunktioille näyttää:

Monimutkaisen argumentin eksponentiaaliselle funktiolle z hajoaminen on samanlaista

.

Maclaurin-sarjan laajennus imaginaarisen argumentin eksponentiaaliselle funktiolle voidaan esittää muodossa

Tuloksena olevaa identiteettiä kutsutaan Eulerin kaava.

Negatiivinen argumentti näyttää siltä

Yhdistämällä näitä lausekkeita voimme määritellä seuraavat lausekkeet sinille ja kosinille

.

Käyttämällä Eulerin kaavaa kompleksilukujen esityksen trigonometrisesta muodosta

saatavilla demonstratiivista kompleksiluvun (eksponentiaalinen, polaarinen) muoto, ts. sen edustus muodossa

,

Missä - pisteen napakoordinaatit, joissa on suorakulmaiset koordinaatit ( x,y).

Kompleksiluvun konjugaatti kirjoitetaan eksponentiaalisessa muodossa seuraavasti.

Eksponentiaaliselle muodolle on helppo määritellä seuraavat kaavat kompleksilukujen kerto- ja jakolaskua varten

Eli eksponentiaalisessa muodossa kompleksilukujen tulo ja jako on helpompaa kuin algebrallisessa muodossa. Kerrottaessa tekijöiden moduulit kerrotaan ja argumentit lisätään. Tämä sääntö koskee monia tekijöitä. Erityisesti kompleksilukua kerrottaessa z päällä i vektori z pyörii vastapäivään 90 astetta

Jaossa osoittajamoduuli jaetaan nimittäjämoduulilla, ja nimittäjäargumentti vähennetään osoittajaargumentista.

Kompleksilukujen eksponentiaalista muotoa käyttämällä voidaan saada lausekkeita hyvin tunnetuille trigonometrisille identiteeteille. Esimerkiksi identiteetistä

Eulerin kaavan avulla voimme kirjoittaa

Tasaamalla reaali- ja imaginaariosat tässä lausekkeessa saadaan lausekkeet kulmien summan kosinille ja sinille

1. Kompleksilukujen potenssit, juuret ja logaritmit

Kompleksiluvun nostaminen luonnolliseksi potenssiksi n valmistettu kaavan mukaan

Esimerkki. Laskea .

Kuvittele numero trigonometrisessa muodossa

’

Käyttämällä eksponentiointikaavaa saamme

Arvon asettaminen lausekkeeseen r= 1, saamme ns De Moivren kaava, jolla voit määrittää useiden kulmien sinien ja kosinien lausekkeet.

Juuri n kompleksiluvun potenssi z Sillä on n lausekkeen määräämät erilaiset arvot

Esimerkki. Etsitään .

Tätä varten ilmaisemme kompleksiluvun () trigonometriseen muotoon

.

Kompleksiluvun juuren laskentakaavan mukaan saamme

Kompleksiluvun logaritmi z on numero w, mille . Kompleksiluvun luonnollisella logaritmilla on ääretön määrä arvoja ja se lasketaan kaavalla

Koostuu todellisista (kosinin) ja imaginaariosista (sini). Tällainen jännitys voidaan esittää pituusvektorina U m, alkuvaihe (kulma), pyörivä kulmanopeudella ω .

Lisäksi, jos monimutkaisia ​​funktioita lisätään, niiden todelliset ja kuvitteelliset osat lisätään. Jos kompleksifunktio kerrotaan vakiolla tai reaalifunktiolla, niin sen reaali- ja imaginaariosa kerrotaan samalla kertoimella. Tällaisen monimutkaisen funktion eriyttäminen/integrointi pelkistyy todellisten ja kuvitteellisten osien eriyttämiseen/integrointiin.

Esimerkiksi monimutkaisen stressiilmaisun erilaistuminen

on kertoa se iω on funktion f(z), ja reaaliosa on funktion kuvitteellinen osa. Esimerkkejä: .

Merkitys z on esitetty kompleksisen z-tason pisteellä ja vastaavalla arvolla w- piste kompleksitasossa w. Kun näytetään w = f(z) tasolinjat z kulkea koneen linjoihin w, yhden tason kuviot toisen tason kuvioiksi, mutta viivojen tai kuvioiden muodot voivat muuttua merkittävästi.

Muista tarvittavat tiedot kompleksiluvuista.

Monimutkainen luku on muodon ilmaus a + bi, Missä a, b ovat todellisia lukuja ja i- niin sanottu kuvitteellinen yksikkö, symboli, jonka neliö on -1, ts. i 2 = -1. Määrä a nimeltään todellinen osa, ja numero b - kuvitteellinen osa kompleksiluku z = a + bi. Jos b= 0, sitten sen sijaan a + 0i kirjoittaa yksinkertaisesti a. Voidaan nähdä, että reaaliluvut ovat kompleksilukujen erikoistapaus.

Kompleksilukujen aritmeettiset operaatiot ovat samat kuin todellisilla: niitä voidaan lisätä, vähentää, kertoa ja jakaa keskenään. Yhteen- ja vähennyslasku etenee säännön mukaan ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, ja kertolasku - säännön mukaan ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (ilmoitus + eKr)i(tässä sitä vain käytetään i 2 = -1). Numero = a – bi nimeltään monimutkainen konjugaatti Vastaanottaja z = a + bi. Tasa-arvo z · = a 2 + b 2 antaa sinun ymmärtää kuinka jakaa yksi kompleksiluku toisella (ei-nollalla) kompleksiluvulla:

(Esimerkiksi, .)

Kompleksiluvuilla on kätevä ja visuaalinen geometrinen esitys: numero z = a + bi voidaan esittää vektorina koordinaatteineen ( a; b) suorakulmaisella tasolla (tai, joka on melkein sama, piste - vektorin loppu näillä koordinaatteilla). Tässä tapauksessa kahden kompleksiluvun summa kuvataan vastaavien vektoreiden summana (joka löytyy suunnikkaasääntösäännön avulla). Pythagoraan lauseen mukaan vektorin pituus koordinaatteineen ( a; b) on yhtä suuri kuin . Tätä arvoa kutsutaan moduuli kompleksiluku z = a + bi ja on merkitty | z|. Kulmaa, jonka tämä vektori muodostaa x-akselin positiivisen suunnan kanssa (vastapäivään laskettuna), kutsutaan Perustelu kompleksiluku z ja merkitty Arg z. Argumenttia ei ole määritelty yksiselitteisesti, vaan vain 2:n kerrannaisen yhteenlaskemiseen asti π radiaaneja (tai 360°, jos lasket asteina) - loppujen lopuksi on selvää, että tällaisen kulman läpi kiertäminen origon ympäri ei muuta vektoria. Mutta jos pituusvektori r muodostaa kulman φ x-akselin positiivisella suunnalla, niin sen koordinaatit ovat yhtä suuria kuin ( r cos φ ; r synti φ ). Siksi se käy ilmi trigonometrinen merkintä kompleksiluku: z = |z| (cos(Arg z) + i synti (Arg z)). Usein on kätevää kirjoittaa kompleksilukuja tässä muodossa, koska se yksinkertaistaa laskelmia huomattavasti. Kompleksilukujen kertominen trigonometrisessa muodossa näyttää hyvin yksinkertaiselta: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+arg z 2) + i synti (Arg z 1+arg z 2)) (kun kerrotaan kaksi kompleksilukua, niiden moduulit kerrotaan ja argumentit lasketaan yhteen). Tästä seuraa De Moivren kaavat: z n = |z|n(cos( n(Arg z)) + i synti( n(Arg z))). Näiden kaavojen avulla on helppo oppia erottamaan minkä tahansa asteen juuret kompleksiluvuista. z:n n:s juuri on niin kompleksiluku w, Mitä w n = z. Se on selvää , Ja missä k voi ottaa minkä tahansa arvon joukosta (0, 1, ..., n-1). Tämä tarkoittaa, että on aina täsmälleen n juuret n astetta kompleksiluvusta (tasolla ne sijaitsevat säännöllisen pisteissä n-gon).

		Kompleksiluvun algebrallinen merkintä................................................................................................
		Kompleksilukujen taso................................................................................................................
		Monimutkaiset konjugaattiluvut ...................................................................................................
	Operaatiot kompleksiluvuilla algebrallisessa muodossa...................................................................
		Kompleksilukujen yhteenlasku ..................................................................................................
		Kompleksilukujen vähentäminen ...................................................................................................................
		Kompleksilukujen kertominen................................................................................................................
		Kompleksilukujen jakaminen................................................................................................................
	Kompleksiluvun trigonometrinen muoto ................................................................................
	Operaatiot kompleksiluvuilla trigonometrisessa muodossa ................................................................
		Kompleksilukujen kertominen trigonometrisessa muodossa................................................................................
		Kompleksilukujen jako trigonometrisessa muodossa ...................................................................
		Kompleksiluvun nostaminen positiiviseksi kokonaislukupotenssiksi
		Positiivisen kokonaisluvun potenssin juuren erottaminen kompleksiluvusta
		Kompleksiluvun nostaminen rationaaliseen potenssiin ................................................................
		Monimutkainen sarja ..................................................................................................................................
		Kompleksinumerosarja ................................................................................................................
		Tehosarjat kompleksitasossa...................................................................................
		Kaksipuolinen tehosarja monimutkaisessa tasossa .................................................................................
		Kompleksisen muuttujan funktiot ..................................................................................................
		Perustoiminnot ..................................................................................................
		Eulerin kaavat ...................................................................................................................................
		Kompleksiluvun esityksen eksponentiaalinen muoto ................................................................
		Trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden välinen suhde ................................................................
		Logaritminen funktio................................................................................................................................
		Yleiset eksponentiaaliset ja yleiset potenssifunktiot ................................................................................................
	Kompleksisen muuttujan funktioiden erottelu................................................................
		Cauchy-Riemannnin ehdot ................................................................................................................
		Kaavat derivaatan laskentaan ...................................................................................................
		Erilaistumisen toiminnan ominaisuudet ...................................................................................................
		Analyyttisen funktion reaali- ja imaginaariosien ominaisuudet ................................................................

	Kompleksisen muuttujan funktion palautus sen reaalista tai imaginaarista
		Menetelmä numero 1. Curvilineaarisen integraalin käyttäminen ................................................................
		Menetelmä numero 2. Cauchyn-Riemannin ehtojen suora soveltaminen................................................
		Menetelmä numero 3. Halutun funktion derivaatan kautta ...................................................................
	Kompleksisen muuttujan funktioiden integrointi ................................................................................
	Integraalinen Cauchyn kaava................................................................................................................................
	Taylor- ja Laurent-sarjojen toimintojen laajentaminen .................................................................................................
	Kompleksisen muuttujan funktion nollapisteet ja yksikköpisteet.................................................................................
		Kompleksisen muuttujan funktion nollat ​​................................................................................
		Monimutkaisen muuttujan funktion yksittäiset pisteet ................................................................

14.3 Piste äärettömyydessä kompleksisen muuttujan funktion singulaaripisteenä

	Kotiutukset ...................................................................................................................................................
		Vähennys loppupisteessä ...................................................................................................................
		Funktion jäännös pisteessä äärettömässä .................................................................................
	Integraalien laskenta jäännösten avulla ..............................................................................................................
	Kysymyksiä itsetutkiskelua varten ...................................................................................................................
	Kirjallisuus....................................................................................................................................
	Aihehakemisto................................................................................................................

Esipuhe

Aikaa ja vaivaa on melko vaikea kohdistaa oikein kokeen tai moduulisertifioinnin teoreettisiin ja käytännön osiin valmistautumiseen, varsinkin kun istunnon aikana ei aina ole tarpeeksi aikaa. Ja kuten käytäntö osoittaa, kaikki eivät voi selviytyä tästä. Tämän seurauksena jotkut opiskelijat ratkaisevat kokeen aikana ongelmia oikein, mutta heidän on vaikea vastata yksinkertaisimpiin teoreettisiin kysymyksiin, kun taas toiset voivat muotoilla lauseen, mutta eivät voi soveltaa sitä.

Nykyiset menetelmäsuositukset kompleksisen muuttujan funktioiden teoria (TFV) -kurssin tenttiin valmistautumiseen pyrkivät ratkaisemaan tätä ristiriitaa ja varmistamaan kurssin teoreettisen ja käytännön materiaalin samanaikaisen toiston. Periaatteen "Teoria ilman käytäntöä on kuollut, käytäntö ilman teoriaa sokea" ohjaamana ne sisältävät sekä kurssin teoreettiset kannat määritelmien ja muotoilujen tasolla että esimerkkejä, jotka havainnollistavat kunkin tietyn teoreettisen kannan soveltamista ja siten helpottavat muistamista ja ymmärtämistä.

Ehdotettujen metodologisten suositusten tarkoituksena on auttaa opiskelijaa valmistautumaan tenttiin perustasolla. Toisin sanoen on koottu laajennettu työopas, joka sisältää TFKT-kurssitunneilla käytetyt pääkohdat ja tarpeelliset läksyjä tehdessä ja valvontatoimiin valmistautuessa. Opiskelijoiden itsenäisen työn lisäksi tätä sähköistä koulutusjulkaisua voidaan käyttää vuorovaikutteisessa muodossa sähköisen taulun avulla tai etäopiskelujärjestelmään sijoittamiseen.

Huomaa, että tämä työ ei korvaa oppikirjoja tai luentomuistiinpanoja. Materiaalin perusteellista tutkimista varten on suositeltavaa viitata Moskovan valtion teknisessä yliopistossa julkaistun julkaisun asiaankuuluviin osiin. N.E. Baumanin perusoppikirja.

Oppaan lopussa on luettelo suositeltavasta kirjallisuudesta ja aihehakemisto, joka sisältää kaikki tekstissä korostetut. lihavoitu kursiivi ehdot. Hakemisto koostuu hyperlinkeistä osioihin, joissa nämä termit on tiukasti määritelty tai kuvattu ja joissa on esimerkkejä niiden käytön havainnollistamiseksi.

Käsikirja on tarkoitettu MSTU:n kaikkien tiedekuntien 2. vuoden opiskelijoille. N.E. Bauman.

1. Kompleksiluvun kirjoittamisen algebrallinen muoto

Tallennus muodossa z \u003d x + iy, jossa x, y ovat reaalilukuja, i on imaginaariyksikkö (eli i 2 = − 1)

kutsutaan kompleksiluvun z algebralliseksi muodoksi. Tässä tapauksessa x:ää kutsutaan kompleksiluvun todelliseksi osaksi ja merkitään Re z (x \u003d Re z), y:tä kutsutaan kompleksiluvun imaginaariseksi osaksi ja merkitään Im z (y \u003d Im z).

Esimerkki. Kompleksiluvun z = 4 − 3i reaaliosa on Re z = 4 ja imaginaariosa on Im z = − 3 .

2. Kompleksilukujen taso

SISÄÄN harkitsevat kompleksisen muuttujan funktioiden teoriatkompleksilukutaso, jota merkitään joko tai käytetään kirjaimia, jotka osoittavat kompleksilukuja z, w jne..

Kompleksisen tason vaaka-akselia kutsutaan todellinen akseli, reaaliluvut z = x + 0 i = x sijaitsevat siinä.

Kompleksisen tason pystyakselia kutsutaan kuvitteelliseksi akseliksi, sillä se on

3. Kompleksiset konjugaattiluvut

Luvut z = x + iy ja z = x − iy kutsutaan monimutkainen konjugaatti. Kompleksisella tasolla ne vastaavat pisteitä, jotka ovat symmetrisiä todellisen akselin suhteen.

4. Operaatiot kompleksiluvuilla algebrallisessa muodossa

4.1 Kompleksilukujen yhteenlasku

Kahden kompleksiluvun summa

z 1 = x 1 + iy 1

ja z 2 = x 2 + iy 2 kutsutaan kompleksiluvuksi

z1 + z2

= (x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = (x 1 + x 2 ) + i ( y 1 + y 2 ).

operaatio

lisäyksiä

kompleksiluvut on samanlainen kuin algebrallisten binomien yhteenlasku.

Esimerkki. Kahden kompleksiluvun z 1 = 3 + 7i ja z 2 summa

= −1 +2 i

tulee olemaan kompleksiluku

z 1 + z 2 = (3 +7 i ) +(−1 +2 i ) = (3 -1 ) +(7 +2 ) i = 2 +9 i .

Ilmeisesti

summa kompleksissa

konjugoitu

On

pätevä

z + z = (x + iy) + (x − iy) = 2 x = 2 Rez .

4.2 Kompleksilukujen vähentäminen

Kahden kompleksiluvun ero z 1 = x 1 + iy 1

X 2 + iy 2

nimeltään

kattava

luku z 1 − z 2 = (x 1 + iy 1 ) − (x 2 + iy 2 ) = (x 1 − x 2 ) + i (y 1 − y 2 ) .

Esimerkki. Kahden kompleksiluvun ero

z 1 = 3 -4 i

ja z2

= −1 +2 i

tulee kattava

luku z 1 − z 2 = (3 − 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3 − (− 1) ) + (− 4 − 2) i = 4 − 6i .

ero

monimutkainen konjugaatti

On

z − z = (x + iy) − (x − iy) = 2 iy = 2 i Im z .

4.3 Kompleksilukujen kertolasku

Kahden kompleksiluvun tulo

z 1 = x 1 + iy 1

ja z 2 = x 2 + iy 2

kutsutaan kompleksiksi

z 1z 2 = (x 1 + iy 1 ) (x 2 + iy 2 ) = x 1x 2 + iy 1x 2 + iy 2 x 1 + i 2 y 1 y 2

= (x 1x 2 − y 1 y 2 ) + i (y 1x 2 + y 2 x ) .

Siten kompleksilukujen kertolasku on samanlainen kuin algebrallisten binomien kertolasku, kun otetaan huomioon se tosiasia, että i 2 = − 1.