Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности.
Такая таблица называется рядом распределения случайной величины Х.
0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
Функция распределения
Закон распределения является полной и исчерпывающей характеристикой дискректной случайной величины. Однако она не является универсальной, так как не может быть применима к непрерывным случайным величинам. Непрерывная случайная величина принимает бесчисленное множество значений, заполняющих некоторый промежуток. Составить таблицу, включающую все значения непрерывной случайной величины практически невозможно. Следовательно, для непрерывной случайной величины не существует закон распределения, в том понимании как он существует для дискретной случайной величины.
Каким же образом описать непрерывную случайную величину?
Для этого используется не вероятность события Х=х, а вероятность события Х<х, где х - некоторая переменная. Вероятность этого события зависит от х и является функцией х.
Эта функция называется функцией распределения случайной величины Х и обозначается F(x):
F(x)=P(X
Функция распределения является универсальной характеристикой случайной величины. Она существует для любых случайных величин: дискретных и непрерывных.
Свойства функции распределения:
1. При х 1 >х 2 F(x 1)> F(x 2)
2. F(- ∞)=0
3. F(+ ∞)=1
Функция распределения дискретной случайной величины - разрывная ступенчатя функция, скачки происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятности этих значений. Сумма этих скачков равна единице.
1 F(x)
 |
Числовые характеристики случайных величин.
Основными характеристиками дискретных случайных величин являются:
· функция распределения;
· ряд распределения;
для непрерывной случайной величины:
· функция распределения;
· плотность распределения.
Любой закон представляет некоторую функцию, и указание этой функции полностью описывает случайную величину.
Однако прирешении ряда практических задач не всегда необходимо характиризовать случайную величину в полном объеме. Достаточно указать только некоторые числовые параметры, характеризующие случайную величину.
Такие характеристики, назначение которых заключается в представлении в концентрированном виде наиболее существенных особенностей распределения, называются числовыми характеристиками случайной величины.
Характеристики положения
(МОЖ,мода,медиана)
Из всех используемых числовых характеристик случайных величин, чаще используются характеристики описывающие положение случайной величины на числовой оси, а именно указывают некоторое среднее значение, около которого группируются возможные значения случайной величины.
Для этого используются следующие характеристики:
· математическое ожидание;
· медиана.
Математическое ожидание (среднее значение) вычисляется следующим образом:
х 1 р 1 +х 2 р 2 +….+х n р n ∑ х i р i
р 1 + р 2 + …..+р n n
Учитывая, что∑ p i , МОЖ равно М[Х] = ∑ x i p i
Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.
Приведенная формулировка справедлива только для дискретных случайных величин.
Для непрерывных величин
М[Х] = ∫ x f(x)dx, где f(x) - плотность распределения Х.
Существуют различные способы расчета среднего значения. Наиболее распространенными формами представления средних величин являются среднее арифметическое значение, медиана и мода.
Среднее арифметическое получается путем деления суммарной величины данного признака для всей однородной статистической совокупности на количество единиц этой совокупности. Для расчета среднего арифметического используется формула:
Хср = (Х1+Х2+... +Хn):n,
где Хi - значение признака у i-ой единицы совокупности, n - количество единиц совокупности.
Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение.
 |
М
 |
Медианой называется значение, которая расположена в середине упорядоченного ряда. Для нечетного количества единиц ряда медиана является единственной и находится точно в середине ряда, для четного - она определяется как среднее значение двух рядом расположенных единиц совокупности, занимающих среднее положение.
Статистика представляет собой отрасль науки, которая изучает количественную сторону массовых явлений общественной жизни, состоящих из отдельных элементов, единиц. Объединение элементов составляет статистическую совокупность. Целью изучения является установление количественных закономерностей развития данного явления. Оно основано на применении теории вероятностей и законе больших чисел. Сущность этого закона заключается в том, что несмотря на индивидуальные случайные колебания отдельных элементов совокупности, в общей массе проявляется определенная закономерность, характерная для данной совокупности в целом. Чем большее количество единичных элементов характеризующих исследуемое явление рассматривается, тем более четко обнаруживается закономерность, присущая данному явлению.
Преступность - явление социальное, массовое, представляет собой статистическую совокупность многочисленных фактов единичных преступных проявлений. Это и дает основание применять для ее изучения методы теории статистики.
В статистических исследованиях общественных явлений, можно выделить три этапа:
1) статистическое наблюдение, т.е. сбор первичного статистического материала;
2) сводная обработка собранных данных, в процессе которой производится подсчет итогов, расчет сводных (обобщающих) показателей и представление результатов в виде таблиц и графиков;
3)анализ, в ходе которого выявляются закономерности исследуемой статистической совокупности, взаимосвязи между различными ее составляющими, осуществляется содержательная интерпретация обобщающих показателей.
Первым этапом статистического исследования является статистическое наблюдение. Оно играет особую роль, так как ошибки, допущенные в процессе сбора данных, практически невозможно исправить на дальнейших этапах работы, что влечет за собой в конечном итоге неверные выводы о свойствах сследуемого явления, неправильную их интерпретацию.
По способу регистрации фактов статистическое наблюдение делится на непрерывное и прерывное. Под непрерывным, или текущим, понимается такое наблюдение, при котором установление и выявление фактов производится по мере их возникновения. При прерывном наблюдении регистрация фактов производится либо регулярно через определенные промежутки времени, либо по мере необходимости.
По охвату единиц обследуемой совокупности различают сплошное и несплошное наблюдение. Сплошным называется наблюдение, при котором учету подлежат все единицы изучаемой совокупности. Так, например, регистрация преступлений теоретически представляет собой сплошное наблюдение. Однако на практике определенная часть преступлений, называемых латентными, остается за пределами исследуемой статистической совокупности и поэтому фактически такое наблюдение является несплошным. Несплошным называется наблюдение, при котором регистрации подлежат не все единицы изучаемой совокупности. Оно подразделяется на несколько видов: наблюдение основного массива, выборочное наблюдение и некоторые другие.
Наблюдение основного массива (его иногда называют несовершенным сплошным методом) представляет собой такой вид несплошного наблюдения, при котором из всей совокупности единиц объекта наблюдению подвергается такая их часть, которая составляет подавляющую, преобладающую долю всей совокупности. Проведение наблюдения по этому методу практикуется в тех случаях, когда сплошной охват всех единиц совокупности сопряжен с особыми трудностями и в то же время исключение из наблюдения определенного количества единиц не оказывает существенного влияния на выводы о свойствах всей совокупности. Поэтому регистрацию преступлений скорее можно отнести именно к данному виду наблюдения.
Наиболее совершенным видом несплошного наблюдения является выборочное, при котором с целью характеристики всей совокупности обследованию подвергается лишь некоторая ее часть, однако взятая на выборку по определенным правилам. Основным условием правильности проведения выборочного наблюдения является такой отбор, в результате которого отобранная часть единиц по всем подлежащим изучению признакам достаточно точно характеризовала бы всю совокупность в целом. Чаще всего выборочное наблюдение применяется в ходе социологических исследований. В дальнейшем будем рассматиривать правила и способы отбора единиц при выборочном наблюдении.
После того как первичный материал собран и проверен, осуществляется второй этап статистического исследования сводка. Статистическое наблюдение дает материал, характеризующий отдельные единицы объекта исследования. Задача сводки - подытожить, систематизировать и обобщить результаты наблюдения так, чтобы стало возможным выявить характерные черты и существенные свойства, обнаружить закономерности изучаемых явлений и процессов.
Простейшим примером сводки является суммирование всех зарегистрированных преступлений. Однако такое обобщение не дает полного представления о всех свойствах криминогенной обстановки. Чтобы охарактеризовать преступность глубоко и всесторонне, необходимо знать, как общее количество преступлений распределяется по видам, времени, месту и способу совершения, и т.п.
Распределение единиц изучаемого объекта на однородные группы по существенным для них признакам называется статистической группировкой. Объекты, исследуемые статистикой, обычно характеризуются многими свойствами и отношениями, выражаемыми различными признаками. Поэтому группировка обследуемых объектов может производиться в зависимости от задач статистического исследования по одному или нескольким из этих признаков. Так, личный состав органа может быть сгруппирован по должностям, специальным званиям, возрасту, выслуге лет, семейному положению и т.д.
В результате обработки и систематизации первичных статистических материалов получаются ряды цифровых показателей, которые характеризуют отдельные стороны изучаемых явлений или процессов либо их изменение. Эти ряды называются статистическими. По своему содержанию статистические ряды делятся на два вида: ряды распределения и ряды динамики. Рядами распределения называются ряды, характеризующие распределение единиц исходной совокупности по какому-либо одному признаку, разновидности которого расположены в определенном порядке. Например, распределения общего количества преступлений на отдельные виды, численности всего личного состава по должностям представляют собой ряды распределения.
Динамическими рядами называются ряды, которые характеризуют изменение размеров общественных явлений во времени. Подробное рассмотрение таких рядов и их использование при аналихзе и прогнозе криминогенной обстановки составляет предметом отдельной лекции.
Результаты статистического наблюдения и сводки его материалов выражаются прежде всего в абсолютных величинах (показателях). Абсолютные величины показывают размеры общественного явления в данных условиях места и времени, например, количество совершенных преступлений или число лиц, их совершивших, фактическая численность личного состава или количество единиц автотранспорта. Абсолютные величины подразделяются на индивидуальные и суммарные (т.е. итоговые). Индивидуальными называются абсолютные величины, выражающие размеры количественных признаков у отдельных единиц той или иной совокупности объектов (например, число потерпевших или материальный ущерб по конкретному уголовному делу, возраст или выслуга лет данного сотрудника, его денежное содержание и т.п.). Они получаются непосредственно в процессе статистического наблюдения и фиксируются в первичных учетных документах. Индивидуальные абсолютные величины служат основой любого статистического исследования.
В отличие от индивидуальных суммарные абсолютные величины характеризуют итоговую величину признака по определенной совокупности объектов, охваченных статистическим наблюдением. Они получаются либо путем прямого подсчета числа единиц наблюдения (например, числа преступлений определенного вида), либо в результате суммирования значений признака у отдельных единиц совокупности (например, ущерб, нанесенный всеми преступлениями).
Однако абсолютные величины, взятые сами по себе, далеко не всегда дают надлежащее представление об изучаемых явлениях и процессах. Поэтому наряду с абсолютными величинами большое значение в статистике имеют относительные величины.
Сравнение является основным приемом оценки статистических данных и составной частью всех методов их анализа. Однако простое сопоставление двух величин недостаточно для точной оценки их соотношения. Это соотношение нужно также измерить. Роль меры такого соотношения и выполняют относительные величины.
В отличие от абсолютных, относительные величины представляют собой производные показатели. Они получаются не в результате простого суммирования, а путем относительного (кратного) сравнения между собой абсолютных величин.
В зависимости от характера изучаемого явления и конкретных задач исследования относительные величины могут иметь различную форму (внешний вид) выражения. Наиболее простой формой выражения относительной величины является число (целое или дробное), показывающее, во сколько раз одна величина больше другой, принятой за базу сравнения, или какую часть ее составляет.
Чаще всего, в аналитической деятельности органов внутренних дел применяется другая форма представления относительных чисел, процентное отношение, при которой основная величина принимается за 100. Для определения процентного отношения необходимо результат деления одной абсолютной величины на другую (базовую) умножить на 100.
Важная роль в сводной обработке статистических данных принадлежит средней величине. Поскольку каждая отдельно взятая единица статистической совокупности обладает индивидуальными особенностями, отличаясь от любой другой количественным значением, для характеристики свойств всей статистической совокупности в целом используется средняя величина . Под средней величиной в статистике понимают показатель, который отражает уровень меняющегося по величине признака в расчете на единицу однородной совокупности.
Для характеристики однородности статистической совокупности
по соответствующему признаку используются различные показатели: вариация, дисперсия, среднеквадратическое отклонение. Эти показатели позволяют оценить, в какой степени соответствующая средняя величина отражает свойства всей совокупности в целом, может ли она вообще использоваться в качестве обобщающей характеристики данной статистической совокупности. Подробное рассмотрение перечисленных показателей является самостоятельным вопросом.
Определение . Случайной величиной называется числовая величина, значение которой зависит от того, какой именно элементарный исход произошел в результате эксперимента со случайным исходом. Множество всех значений, которые случайная величина может принимать, называют множеством возможных значений этой случайной величины.
Случайные величины обозначают: X , Y 1 , Z i ; ξ , η 1 , μ i , а их возможные значения - x 3 , y 1k , z ij .
Пример . В опыте с однократным бросанием игральной кости случайной величины является число X выпавших очков. Множество возможных значений случайной величины X имеет вид
{x 1 =1, x 2 =2, …, x 6 =6 }.
Имеем следующее соответствие между элементарными исходами ω и значениями случайной величины X :
То есть каждому элементарному исходу ω i , i=1, …, 6 , ставится в соответствие число i .
Пример . Монету подбрасывают до первого появления «герба». В этом опыте можно ввести, например, такие случайные величины: X - число бросаний до первого появления «герба» с множеством возможных значений {1, 2, 3, … } и Y - число «цифр», выпавших до первого появления «герба», с множеством возможных значений {0, 1, 2, …} (ясно, что X=Y+1 ). В данном опыте пространство элементарных исходов Ω можно отождествить с множеством
{Г, ЦГ, ЦЦГ, …, Ц…ЦГ, … },
причем элементарному исходу {Ц … ЦГ } ставится в соответствие число m+1 или m , где m - число повторений буквы «Ц».
Определение . Скалярную функцию X(ω) , заданную на пространстве элементарных исходов, называют случайной величиной, если для любого x∈ R {ω:X(ω) < x} является событием.
Функция распределения случайной величины
Для исследования вероятностных свойств случайной величины необходимо знать правило, позволяющее находить вероятность того, что случайная величина примет значение из подмножества ее значений. Любое такое правило называют законом распределения вероятностей или распределением случайной величины.
Общим законом распределения, присущим всем случайным величинам, является функция распределения.
Определение . Функция распределения (вероятностей) случайной величины X называют функцию F(x) , значение которой в точке x равно вероятности события {X < x} , то есть события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов ω , для которых X(ω) < x :
F(x) = P{X < x} .
Обычно говорят, что значение функции распределения в точке x равно вероятности того, что случайная величина X примет значение, меньшее x .
Теорема . Функция распределения удовлетворяет следующим свойствам:
Типичный вид функции распределения.
Дискретные случайные величины
Определение . Случайную величину X называют дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно.
Определение . Рядом распределения (вероятностей) дискретной случайной величины X называют таблицу, состоящую из двух строк: в верхней строке перечислены все возможные значения случайной величины, а в нижней - вероятности p i =P\{X=x i \} того, что случайная величина примет эти значения.
Для проверки правильности составления таблицы рекомендуется просуммировать вероятности p i . В силу аксиомы нормированности:
По ряду распределения дискретной случайной величины можно построить ее функцию распределения F(x) . Пусть X - , заданная своим рядом распределения, причем x 1 < x 2 < … < x n . Тогда для всех x ≤ x 1 событие {X < x} является невозможным, следовательно, по определению F(x)=0 . Если x 1 < x≤ x 2 , то событие {X < x} состоит из тех и только тех элементарных исходов, для которых X(ω)=x 1 . Следовательно, F(x)=p 1 . Аналогично, при x 2 < x ≤ x 3 событие {X < x} состоит из элементарных исходов ω , для которых либо X(ω)=x 1 , либо X(ω)=x 2 , то есть {X < x}={X=x 1 }+{X=x 2 } . Следовательно, F(x)=p 1 +p 2 и т.д. При x > x n событие {X < x} достоверно, тогда F(x)=1 .
Закон распределения дискретной случайной величины можно задать также аналитически в виде некоторой формулы или графически. Например, распределение игральной кости описывается формулой
P{X=i} = 1/6 , i=1, 2, …, 6 .
Некоторые дискретные случайные величины
Биномиальное распределение. Дискретная случайная величина X распределена по биномиальному закону, если она принимает значения 0, 1, 2, …, n в соответствии с распределением, заданным формулой Бернулли:
Это распределение является не чем иным, как распределения числа успехов X в n испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха p и неудачи q=1-p .
Распределение Пуассона. Дискретная случайная величина X распределена по закону Пуассона, если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями
где λ > 0 - параметр распределения Пуассона.
Распределение Пуассона также называют законом редких событий, так как оно всегда проявляется там, где производится большое число испытаний, в каждом из которых с малой вероятностью происходит «редкое» событий.
В соответствие с законом Пуассона распределены, например, число вызовов, поступивших в течение суток на телефонную станцию; число метеоритов, упавших в определенном районе; число распавшихся частиц при радиоактивном распаде вещества.
Геометрическое распределение. Снова рассмотрим схему Бернулли. Пусть X - число испытаний, которое необходимо провести прежде, чем появится первый успех. Тогда X - дискретная случайная величина, принимающая значения 0, 1, 2, …, n , … Определим вероятность события {X=n} .
- X=0 , если в первом испытании произойдет успех, следовательно, P{X=0}=p .
- X=1 , если в первом испытании произойдет неудача, а во втором - успех, то P{X=1}=qp .
- X=2 , если в первых двух испытаниях - неудача, а в третьем - успех, то P{X=2}=q 2 p .
- Продолжая процедуру, получим P{X=i}=q i p
, i=0, 1, 2, …
Случайную величину с таким рядом распределения называют распределенной согласно геометрическому закону.
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Дискретные случайные величины
Пусть производится некоторое испытание, результатом которого является одно из несовместных случайных событий (число событий или конечно или счетно, то есть события можно пронумеровать). Каждому исходу поставлено в соответствие некоторое действительное число, то есть на множестве случайных событий задана действительная функция Х со значениями. Эта функция Х называется дискретной случайной величиной (термин «дискретная» используется потому, что значения случайной величины - это отдельные числа, в отличии от непрерывных функций). Поскольку значения случайной величины изменяются в зависимости от случайных событий, то основной интерес представляют вероятности, с которыми случайная величина принимает различные числовые значения. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения может иметь различные формы. Для дискретной случайной величины законом распределения является совокупность пар чисел (), где - возможные значения случайной величины, а - вероятности, с которыми она принимает эти значения: . При этом.
Пары можно рассматривать, как точки в некоторой системе координат. Соединив эти точки отрезками прямых, мы получим графическое изображение закона распределения - многоугольник распределения. Чаще всего закон распределения дискретной случайной величины записывается в виде таблицы, в которую внесены пары.
Пример. Монета подброшена два раза. Составить закон распределения числа выпадения «гербов» в данном испытании.
Решение. Случайная величина Х - число выпадений «герба» в данном испытании. Очевидно, что Х может принимать одно из трех значений: 0, 1, 2. Вероятность появления «герба» при одном подбрасывании монеты равна р=0,5, а выпадения «решки» q = 1 - p = 0,5. Вероятности, с которыми случайная величина принимает перечисленные значения, найдем по формуле Бернулли:
Закон распределения случайной величины Х запишем в виде таблицы распределения
Контроль:
Некоторые законы распределения дискретных случайных величин, часто встречающиеся при решении различных задач, получили специальные названия: геометрическое распределение, гипергеометрическое распределение, биномиальное распределение, распределение Пуассона и другие.
Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан с помощью функции распределения F(x), которая равна вероятности того, что случайная величина Х будет принимать значения на промежутке????х?: F(x) = P(X Функция F(х) определена на всей действительной оси и обладает следующими свойствами: 1) ? ? F(х) ? 1; 2) F(х) - неубывающая функция; 3) F(??) = 0, F(+?) = 1; 4) F(b) - F(a) = P(a ? X < b) - вероятность того, что случайная величина Х примет значения на промежутке 2 =(1-2.3) 2 =1.69 2 =(2-2.3) 2 =0.09 2 =(5-2.3) 2 =7.29 Напишем закон распределения квадрата отклонения: Решение: Найдем математическое ожидание М(х): M(x)=2*0.1+3*0.6+5*0.3=3.5 Напишем закон распределения случайной величины X 2 Найдем математическое ожидание M(x 2): M(x 2)=4*0.1+9*0.6+25*0.3=13.5 Искомая дисперсия D(x)=M(x 2)- 2 =13.3-(3.5) 2 =1.05 Свойства дисперсии 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D(C)=0 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат. D(Cx)=C 2 D(x) 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n) 4. Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании D(X)=npq. Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратичное отклонение. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Средним квадратичным отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии: Пример 8. Случайная величина Х задана законом распределения Найти среднее квадратичное отклонение у(x) Решение: Найдем математическое ожидание Х: M(x)=2*0.1+3*0.4+10*0.5=6.4 Найдем математическое ожидание X 2: M(x 2)=2 2 *0.1+3 2 *0.4+10 2 *0.5=54 Найдем дисперсию: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6.4 2 =13.04 Искомое среднее квадратичное отклонение у(X)=vD(X)=v13.04?3.61 Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратичных отклонений этих величин: Случайные величины Понятие случайной величины является основным в теории вероятностей и ее приложениях. Случайными величинами, например, являются число выпавших очков при однократном бросании игральной кости, число распавшихся атомов радия за данный промежуток времени, число вызовов на телефонной станции за некоторый промежуток времени, отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе и т. д. Таким образом, случайной
величиной
называется переменная величина, которая в результате опыта может принимать то или иное числовое значение. В дальнейшем мы рассмотрим два типа случайных величин -- дискретные и непрерывные. 1. Дискретные случайные величины Рассмотрим случайную величину * , возможные значения которой образуют конечную или бесконечную последовательность чисел x
1
,
x
2
,
.
..,
x
n
,
.
..
.
Пусть задана функция p(x)
, значение которой в каждой точке x=x
i
(i=1,2,
.
..)
равно вероятности того, что величина примет значение x
i
.
Такая случайная величина называется дискретной
(прерывной)
. Функция р(х)
называется законом
распределения
вероятностей
случайной
величины
, или кратко, законом
распределения
. Эта функция определена в точках последовательности x
1
,
x
2
,
.
..,
x
n
,
.
..
.
Так как в каждом из испытаний случайная величина принимает всегда какое-либо значение из области ее изменения, то Пример
1.
Случайная величина -- число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости. Возможные значения -- числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. При этом вероятность того, что примет любое из этих значений, одна и та же и равна 1/6. Какой будет закон распределения? (Решение
) Пример
2.
Пусть случайная величина - число наступления события A
при одном испытании, причем P(A)=p
. Множество возможных значений состоит из 2-х чисел 0 и 1: =0
, если событие A
не произошло, и =1
, если событие A
произошло. Таким образом, Предположим, что производится n
независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить событие A
. Пусть вероятность наступления события A
при каждом испытании равна p
A
при n
независимых испытаниях. Область изменения состоит из всех целых чисел от 0
до n
включительно. Закон распределения вероятностей р(m)
определяется формулой Бернулли (13"): Закон распределения вероятностей по формуле Бернулли часто называют биномиальным
, так как P
n
(m)
представляет собой m
-й член разложения бинома. Пусть случайная величина может принимать любое целое неотрицательное значение, причем где -- некоторая положительная постоянная. В этом случае говорят, что случайная величина распределена по закону
Пуассона
, Заметим, что при k=0
следует положить 0!=1
. Как мы знаем, при больших значениях числа n
независимых испытаний вероятность P
n
(m)
наступления m
раз события A
удобнее находить не по формуле Бернулли, а по формуле Лапласа [см. формулу (15)]. Однако последняя дает большие погрешности при малой вероятности р
появления события А
в одном испытании. В этом случае для подсчета вероятности P
n
(m)
удобно пользоваться формулой Пуассона, в которой следует положить. Формулу Пуассона можно получить как предельный случай формулы Бернулли при неограниченном увеличении числа испытаний n
и при стремлении к нулю вероятности. Пример
3.
На завод прибыла партия деталей в количестве 1000 шт. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,001. Какова вероятность того, что среди прибывших деталей будет 5 бракованных? (Решение
) Распределение Пуассона часто встречается и в других задачах. Так, например, если телефонистка в среднем за один час получает N
вызовов, то, как можно показать, вероятность Р(k)
того, что в течение одной минуты она получит k
вызовов, выражается формулой Пуассона, если положить. Если возможные значения случайной величины образуют конечную последовательность x
1
,
x
2
,
.
..,
x
n
, то закон распределения вероятностей случайной величины задают в виде следующей таблицы, в которой Значения Вероятности p(xi)
Эту таблицу называют рядом
распределения
случайной величины. Наглядно функцию р(х)
можно изобразить в виде графика. Для этого возьмем прямоугольную систему координат на плоскости. По горизонтальной оси будем откладывать возможные значения случайной величины, а по вертикальной оси - значения функции. График функции р(х)
изображен на рис. 2. Если соединить точки этого графика прямолинейными отрезками, то получится фигура, которая называется многоугольником
распределения
. Пример
4.
Пусть событие А
-- появление одного очка при бросании игральной кости; Р(A)=1/6
. Рассмотрим случайную величину -- число наступлений события А
при десяти бросаниях игральной кости. Значения функциир(х)
(закона распределения) приведены в следующей таблице: Значения Вероятности p(xi)
Вероятности p(x
i
)
вычислены по формуле Бернулли при n=10
. Для x>6
они практически равны нулю. График функции p(x) изображен на рис. 3. Функция распределения вероятностей случайной величины и ее свойства Рассмотрим функцию F(х)
, определенную на всей числовой оси следующим образом: для каждого х
значениеF(х)
равно вероятности того, что дискретная случайная величина примет значение, меньшее х
, т. е. Эта функция называется функцией
распределения
вероятностей
, или кратко, функцией
распределения
. Пример
1.
Найти функцию распределения случайной величины, приведенной в примере 1, п. 1. (Решение
) Пример
2.
Найти функцию распределения случайной величины, приведенной в примере 2, п. 1. (Решение
) Зная функцию распределения F(x)
, легко найти вероятность того, что случайная величина удовлетворяет неравенствам. Рассмотрим событие, заключающееся в том, что случайняя величина примет значение, меньшее. Это событие распадается на сумму двух несовместных событий: 1) случайная величина принимает значения, меньшие, т.е. ; 2) случайная величина принимает значения, удовлетворяющие неравенствам. Используя аксиому сложения, получаем Но по определению функции распределения F(x)
[см. формулу (18)], имеем cледовательно, Таким образом, вероятность
попадания
дискретной
случайной
величины
в
интервал
равна
приращению
функции
распределения
на
этом
интервале.
Рассмотрим
основные
свойства
функции
распределения.
1°. Функция
распределения
является
неубывающей.
В самом деле, пусть < . Так как вероятность любого события неотрицательна, то. Поэтому из формулы (19) следует, что 2°. Значения
функции
распределения
удовлетворяют
неравенствам
. Это свойство вытекает из того, что F(x)
определяется как вероятность [см. формулу (18)]. Ясно, что * и. 3°. Вероятность
того,
что
дискретная
случайная
величина
примет
одно
из
возможных
значений
x
i
,
равна
скачку
функции
распределения
в
точке
x
i
. Действительно, пусть x
i
- значение, принимаемое дискретной случайной величиной, и. Полагая в формуле (19) , получим В пределе при вместо вероятности попадания случайной величины на интервал получим вероятность того, что величина примет данное значение x
i
: C другой стороны, получаем, т.е. предел функции F(x)
справа, так как. Следовательно, в пределе формула (20) примет вид т.е. значение p(x
i
)
равно скачку функции ** x
i
. Это свойство наглядно иллюстрируется на рис. 4 и рис. 5. Непрерывные случайные величины Кроме дискретных случайных величин, возможные значения которых образуют конечную или бесконечную последовательность чисел, не заполняющих сплошь никакого интервала, часто встречаются случайные величины, возможные значения которых образуют некоторый интервал. Примером такой случайной величины может служить отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе. Такого рода, случайные величины не могут быть заданы с помощью закона распределения вероятностей р(х)
. Однако их можно задать с помощью функции распределения вероятностей F(х)
. Эта функция определяется точно так же, как и в случае дискретной случайной величины: Таким образом, и здесь функция F(х)
определена на всей числовой оси, и ее значение в точке х
равно вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее чем х
. Формула (19) и свойства 1° и 2° справедливы для функции распределения любой случайной величины. Доказательство проводится аналогично случаю дискретной величины. Случайная величина называется непрерывной
, если для нее существует неотрицательная кусочно-непрерывная функция* , удовлетворяющая для любых значений x
равенству Функция называется плотностью
распределения
вероятностей
, или кратко, плотностью
распределения
. Если x
1
Исходя из геометрического смысла интеграла как площади, можно сказать, что вероятность выполнения неравенств равна площади криволинейной трапеции с основанием
, ограниченной сверху кривой (рис. 6). Так как, а на основании формулы (22) Пользуясь формулой (22), найдем как производную интеграла по переменной верхней границе, считая плотность распределения непрерывной**: Заметим, что для непрерывной случайной величины функция распределения F(х)
непрерывна в любой точке х
, где функция непрерывна. Это следует из того, что F(х)
в этих точках дифференцируема. На основании формулы (23), полагая x
1
=x
, имеем В силу непрерывности функции F(х)
получим, что Следовательно Таким образом, вероятность
того,
что
непрерывная
случайная
величина
может
принять
любое
отдельное
значение
х,
равна
нулю
. Отсюда следует, что события, заключающиеся в выполнении каждого из неравенств Имеют одинаковую вероятность, т.е. В самом деле, например, Замечание.
Как мы знаем, если событие невозможно, то вероятность его наступления равна нулю. При классическом определении вероятности, когда число исходов испытания конечно, имеет место и обратное предложение: если вероятность события равна нулю, то событие невозможно, так как в этом случае ему не благоприятствует ни один из исходов испытания. В случае непрерывной случайной величины число возможных ее значений бесконечно. Вероятность того, что эта величина примет какое-либо конкретное значение x
1
как мы видели, равна нулю. Однако отсюда не следует, что это событие невозможно, так как в результате испытания случайная величина может, в частности, принять значение x
1
. Поэтому в случае непрерывной случайной величины имеет смысл говорить о вероятности попадания случайной величины в интервал, а не о вероятности того, что она примет какое-то конкретное значение. Так, например, при изготовлении валика нас не интересует вероятность того, что его диаметр будет равен номиналу. Для нас важна вероятность того, что диаметр валика не выходит из поля допуска. Пример.
Плотность распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом: График функции представлен па рис. 7. Определить вероятность того, что случайная величина примет значение, удовлетворяющее неравенствам.Найти функцию распределения заданной случайной величины. (Решение
) Следующие два пункта посвящены часто встречающимся на практике распределениям непрерывных случайных величин -- равномерному и нормальному распределениям. * Функция называется кусочно-непрерывной на всей числовой оси, если она на любом сегменте или непрерывна, или имеет конечное число точек разрыва I рода. ** Правило дифференцирования интеграла с переменной верхней границей, выведенное в случае конечной нижней границы, остается справедливым и для интегралов с бесконечной нижней границей. В самом деле, Так как интеграл есть величина постоянная. Случайные величины Под случайными величинами понимают числовые характеристики случайных событий. Другими словами, случайные величины - это числовые результаты экспериментов, значения которых которые невозможно (в данное время) предсказать заранее. Например, следующие величины можно рассматривать как случайные: 2. Процент мальчиков среди детей, родившихся в заданном роддоме в некоторый определенный день. 3. Число и площадь пятен на Солнце, видимых в некоторой обсерватории в течение определенного дня. 4. Число студентов, опоздавших на данную лекцию. 5. Курс доллара на бирже (скажем, на ММВБ), хотя может быть он и не так уж “случаен”, как это кажется обывателям. 6. Число отказов оборудования в заданный день на определенном предприятии. Случайные величины делят на дискретные и непрерывные в зависимости от того, каково множество всех возможных значений соответствующей характеристики - дискретное или же непрерывное. Это деление довольно условно, но полезно при выборе адекватных методов исследования. Если число возможных значений случайной величины конечно или сопоставимо с множеством всех натуральных чисел (т.е. может быть перенумеровано), то случайную величину PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com называют дискретной. В противном случае ее называют непрерывной, хотя на самом деле как бы неявно предполагается, что фактически непрерывные случайные величины принимают свои значение в некотором простом числовом помежутке (отрезке, интервале). Например, дискретными будут случайные величины, приведенные выше под номерами 4 и 6, а непрерывными - под номерами 1 и 3 (площади пятен). Иногда случайная величина имеет смешанный характер. Таков, например, курс доллара (или какой-то другой валюты), который фактически принимает лишь дискретный набор значений, но при этом оказывается удобным считать, что множество его значений «непрерывно». Случайные величины можно задавать разными способами. Дискретные случайные величины обычно задаются своим законом распределения. Тут каждому возможному значению x1, x2,... случайной величины X сопоставляется вероятность p1,p2,... этого значения. В результате образуется таблица, состоящая из двух строк: Это и есть закон распределения случайной величины. Непрерывные случайные величины законом распределения задать невозможно, так как по самому своему определению их значения невозможно перенумеровать и потому задание в виде таблицы тут исключается. Однако для непрерывных случайных величин есть другой способ задания (применимый, кстати, и для дискретных величин) - это функция распределения: равная вероятности события , которое состоит в том, что случайная величина X примет значение, меньшее заданного числа x. Часто вместо функции распределения удобно использовать другую функцию - плотность f(x) распределения случайной величины X. Ее еще иногда называют дифференциальной функцией распределения, а F(x) в этой терминологии называется интегральной функцией распределния. Эти две функции взаимно определяют друг друга по следующим формулам: Если случайная величина дискретна, то для нее понятие функции распределения тоже имеет смысл, в этом случай график функции распределения состоит из горизонтальных участков, каждый из которых расположен выше предыдущего на величину, равную pi. Важными примерами дискретных величин являются, например, биномиально распределенные величины (распределение Бернулли), для которых PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com n pk(1-p)n-k= !()! где p - вероятность отдельного события (ее иногда условно называют “вероятностью успеха”). Так распределены результаты серии последовательных однородных испытаний (схема Бернулли). Предельным случаем биномиального распределения (при увеличении числа испытаний) является распределение Пуассона, для которого pk=?k/k!·exp(-?), где?>0 некоторый положительный параметр. Простейший пример непрерывного распределения - равномерное распределение. Оно на отрезке имеет постоянную плотность распределения, равную 1/(b-a), а вне этого отрезка плотность равна 0. Чрезвычайно важным примером непрерывного распределения является нормальное распределение. Оно задается двумя параметрами m и? (математическим ожиданием и среднеквадратичным отклонением - см. ниже), его плотность распределения имеет вид: 1 exp(-(x-m)2/2?2) Фундаментальная роль нормального распределения в теории вероятностей объясняется тем, что в силу Центральной Предельной Теоремы (ЦПТ) сумма большого числа случайных величин, которые являются попарно независимыми (о понятии независимости случайных величин см. ниже) или слабо зависимыми, оказывается приближенно распределенной по нормальному закону. Отсюда следует, что случайная величина, случайность которой вызвана наложением большого числа слабо зависимых между собой случайных факторов, может рассматриваться приближенно как распределенная нормально (в независимости от того, как были распределены слагающие ее факторы). Другими словами - нормальный закон распределения весьма универсален. Имеется несколько числовых характеристик, которые удобно использовать при изучении случайных величин. Среди них выделим математическое ожидание равное среднему значению случайной величины, дисперсию D(X)=M(X-M(X))2, равную математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от среднего значения, и еще одну, удобную на практике дополнительную величину (той же размерности, что и исходная случайная величина): называемую среднеквадратичным отклонением. Будем предполагать (не оговаривая этого в дальнейшем), что все выписанные интегралы существуют (т.е. сходятся на всей числовой оси). Как известно, дисперсия и среднеквадратичное отклонение характеризуют степень рассеяния случайной величины вокруг ее среднего значения. Чем PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com меньше дисперсия, тем более тесно группируются значения случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, математическое ожидание для распределение Пуассона равно?, для равномерного распределения оно равно (a+b)/2, а для нормального распределения оно равно m. Дисперсия для распределения Пуассона равна?, для равномерного распределения (b-a)2/12, а для нормального распределения равна?2. В дальнейшем будут использоваться следующие свойства математического ожидания и дисперсии: 1. M(X+Y)= M(X)+M(Y). 3. D(cX)=c2D(X), где c - произвольное постоянное число. 4. D(X+A)=D(A) для произвольной постоянной (неслучайной)величины A. Случайная величина?=U-MU называется центрированной. Из свойства 1 вытекает, что M?=M(U-MU)=M(U)-M(U)=0, то есть ее среднее значение равно 0 (с этим и связано ее название). При этом в силу свойства 4 имеем D(?)=D(U). Имеется также полезное соотношение, которое удобно использовать на практике для вычисления дисперсии и связаных с нею величин: 5. D(X)=M(X2)-M(X)2 Случайные величины X и Y называются независимыми, если для произвольных их значений x и y соответственно события и независимы. Например, независимы будут (по видимому...) результаты измерения напряжения в электросети и рост главного энергетика предприятия. А вот мощность этой электросети и зарплату главного энергетика на предприятиях уже не всегда можно считать независимыми. Если случайные величины X и Y независимы, то имеют место и следующие свойства (которые для произвольных случайных величин могут не выполняться): 5. M(XY)=M(X)M(Y). 6. D(X+Y)=D(X)+D(Y). Кроме отдельных случайных величин X,Y,... изучаются и системы случайных величин. Например, пара (X,Y) случайных величин может рассматриваться как новая случайная величина, значения которой являются двумерными векторами. Аналогично можно рассматривать и системы большего числа случайных величин, называемые многомерными случайными величинами. Такого рода системы величин тоже задаются своей функцией распределения. Например, для системы двух случайных величин эта функция имеет вид F(x,y)=P, то есть она равна вероятности события, заключающегося в том, что случайная величина X примет значение, меньшее заданного числа x, а случайная величина Y - меньшее заданного числа y. Эту функцию называют еще функцией совместного распределения случайных величин X и Y. Также можно рассматривать средний вектор - естественный аналог математического ожидания, а вот вместо дисперсии приходится изучать уже несколько числовых характеристик, называемых моментами второго порядка. Это, во-первых, две частные дисперсии DX и DY PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com случайных величин X и Y, рассматриваемых по-отдельности, а, во-вторых, ковариационный момент, более подробно рассмотренный ниже. Если случайные величины X и Y независимы, то F(x,y)=FX(x)FY(y) Произведение функций распределения случайных величин X и Y и потому изучение пары независимых случайных величин сводится во многом просто к изучению X и Y по отдельности. Случайные величины Выше рассматривались эксперименты, результаты которых являются случайными событиями. Однако часто возникает необходимость количественного представления результатов эксперимента в виде некоторой величины, которая называется случайной величиной. Случайная величина является вторым (после случайного события) основным объектом изучения теории вероятностей и обеспечивает более общий способ описания опыта со случайным исходом, чем совокупность случайных событий. Рассматривая эксперименты со случайным исходом, мы уже имели дело со случайными величинами. Так, число успехов в серии из испытаний - пример случайной величины. Другими примерами случайных величин являются: число вызовов на телефонной станции за единицу времени; время ожидания очередного вызова; число частиц с заданной энергией в системах частиц, рассматриваемых в статистической физике; средняя суточная температура в данной местности и т.д. Случайная величина характерна тем, что невозможно точно предсказать ее значение, которое она примет, но с другой стороны, множество ее возможных значений обычно известно. Так для числа успехов в последовательности из испытаний это множество конечно, поскольку число успехов может принимать значения. Множество значений случайной величины, может совпадать с вещественной полуосью, как в случае времени ожидания и т.д. Рассмотрим примеры экспериментов со случайным исходом, для описания которых обычно применяются случайные события и введем эквивалентное описание с помощью задания случайной величины. 1). Пусть результатом опыта может быть событие или событие. Тогда этому эксперименту можно поставить в соответствие случайную величину, которая принимает два значения, например, и с вероятностями и, причем имеют место равенства: и. Таким образом, опыт характеризуется двумя исходами ис вероятностями и, или этот же опыт характеризуется случайной величиной, принимающей два значения и с вероятностями и. 2). Рассмотрим опыт с бросанием игральной кости. Здесь исходом опыта может быть одно из событий, где - выпадение грани с номером. Вероятности,. Введем эквивалентное описание этого опыта с помощью случайной величины, которая может принимать значения с вероятностями. 3). Последовательность независимых испытаний характеризуется полной группой несовместных событий, где - событие, состоящее в появлении успехов в серии из опытов; причем вероятность события определяется формулой Бернули, т.е.. Здесь можно ввести случайную величину - число успехов, которая принимает значения с вероятностями. Таким образом, последовательность независимых испытаний характеризуется случайными событиями с их вероятностями или случайной величиной с вероятностями того, что принимает значения. 4). Однако, не для всякого опыта со случайным исходом существует столь простое соответствие между случайной величиной и совокупностью случайных событий. К примеру, рассмотрим эксперимент, в котором точка наугад бросается на отрезок. Здесь естественно ввести случайную величину - координату на отрезке, в которую попадает точка. Таким образом, можно говорить о случайном событии, где - число из. Однако вероятность этого события. Можно поступить иначе - отрезок разбить на конечное число непересекающихся отрезков и рассматривать случайные события, состоящие в том, что случайная величина принимает значения из интервала. Тогда вероятности - конечные величины. Однако и этот способ имеет существенный недостаток, поскольку отрезки выбираются произвольным образом. Для того, чтобы устранить этот недостаток рассматривают отрезки вида, где переменная. Тогда соответствующая вероятность является функцией аргумента. Это усложняет математическое описание случайной величины, но при этом описание (29.1) становится единственным, устраняется неоднозначность выбора отрезков. Для каждого из рассмотренных примеров несложно определить вероятностное пространство, где - пространство элементарных событий, - - алгебра событий (подмножеств), - вероятность, определенная для любого. Например, в последнем примере, - - алгебра всех отрезков, содержащихся в. Рассмотренные примеры приводят к следующему определению случайной величины. Пусть - вероятностное пространство. Случайной величиной называется однозначная действительная функция, определенная на, для которой множество элементарных событий вида является событием (т.е. принадлежат) для каждого действительного числа. Таким образом, в определении требуется, чтобы для каждого вещественного множество, и это условие гарантирует, что для каждого определена вероятность события. Это событие принято обозначать более краткой записью. Функция распределения вероятностей Функция называется функцией распределения вероятностей случайной величины. Функция иногда называется кратко - функция распределения, а также - интегральным законом распределения вероятностей случайной величины. Функция является полной характеристикой случайной величины, то есть представляет собой математическое описание всех свойств случайной величины и более детального способа описания этих свойств не существует. Отметим следующую важную особенность определения (30.1). Часто функцию определяют иначе: Согласно (30.1) функция является непрерывной справа. Этот вопрос подробнее будет рассмотрен ниже. Если же использовать определение (30.2), то - непрерывна слева, что является следствием применения строгого неравенства в соотношении (30.2). Функции (30.1) и (30.2) представляют собой эквивалентные описания случайной величины, поскольку не имеет значения каким определением пользоваться как при изучении теоретических вопросов, так и при решении задач. Для определенности в дальнейшем будем использовать только определение (30.1). Рассмотрим пример построения графика функции. Пусть случайная величина принимает значения, с вероятностями, причем. Таким образом, другие значения кроме указанных данная случайная величина принимает с нулевой вероятностью:, для любого,. Или как говорят, других значений кроме, случайная величина не может принимать. Пусть для определенности. Найдем значения функции для из интервалов: 1), 2), 3), 4), 5), 6), 7). На первом интервале, поэтому функция распределения. 2). Если, то. Очевидно случайные события и несовместны, поэтому по формуле сложения вероятностей. По условию событие невозможное и, а. Поэтому. 3). Пусть, тогда. Здесь первое слагаемое, а второе, поскольку событие - невозможное. Таким образом для любого, удовлетворяющего условию. 4). Пусть, тогда. 5). Если, то. 6) При имеем. 7) Если, то. Результаты вычислений представлены на рис. 30.1 графиком функции. В точках разрыва, указана непрерывность функции справа. Основные свойства функции распределения вероятностей Рассмотрим основные свойства функции распределения, следующие непосредственно из определения: 1. Введем обозначение:. Тогда из определения следует. Здесь выражение рассматривается как невозможное событие с нулевой вероятностью. 2. Пусть. Тогда из определения функции следует. Случайное событие является достоверным и его вероятность равна единице. 3. Вероятность случайного события, состоящего в том, что случайная величина принимает значение из интервала при определяется через функцию следующим равенством Для доказательства этого равенства рассмотрим соотношение. События и несовместны, поэтому по формуле сложения вероятностей из (31.3) следует, что и совпадает с формулой (31.2), поскольку и. 4. Функция является неубывающей. Для доказательства рассмотрим. При этом справедливо равенство (31.2). Его левая часть, поскольку вероятность принимает значения из интервала. Поэтому и правая часть равенства (31.2) неотрицательна:, или. Это равенство получено при условии, поэтому - неубывающая функция. 5. Функция непрерывна справа в каждой точке, т.е. где - любая последовательность, стремящаяся к справа, т.е. и. Для доказательства представим функцию в виде: Теперь на основании аксиомы счетной аддитивности вероятности выражение в фигурных скобках равно, таким образом, что и доказывает непрерывность справа функции. Таким образом, каждая функция распределения вероятностей обладает свойствами 1-5. Верно и обратное утверждение: если, удовлетворяет условиям 1-5,то она может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины. Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно. Для полного вероятностного описания дискретной случайной величины, принимающей значения, достаточно задать вероятности того, что случайная величина принимает значение. Если заданы и, тогда функцию распределения вероятностей дискретной случайной величины можно представить в виде: Здесь суммирование ведется по всем индексам, удовлетворяющим условию. Функцию распределения вероятностей дискретной случайной величины иногда представляют через так называемую функцию единичного скачка. При этом принимает вид, если случайная величина принимает конечное множество значений, и верхний предел суммирования в (32.4) полагается равным, если случайная величина принимает счетное множество значений. Пример построения графика функций распределения вероятностей дискретной случайной величины был рассмотрен в п.30. Плотность распределения вероятностей Пусть случайная величина имеет дифференцируемую функцию распределению вероятностей, тогда функция называется плотностью распределения вероятностей (или плотностью вероятности) случайной величины, а случайная величина - непрерывной случайной величиной. Рассмотрим основные свойства плотности вероятности. Из определения производной следует равенство: Согласно свойствам функции имеет место равенство. Поэтому (33.2) принимает вид: Это соотношение объясняет название функции. Действительно, согласно (33.3) функция - это вероятность, приходящаяся на единицу интервала, в точке, поскольку. Таким образом, плотность вероятности, определяемая соотношением (33.3), аналогична определениям плотностей других величин, известных в физике, таких как плотность тока, плотность вещества, плотность заряда и т.д. 2. Поскольку - неубывающая функция, то ее производная - функция неотрицательная: 3. Из (33.1) следует, поскольку. Таким образом, справедливо равенство 4. Поскольку, то из соотношения (33.5) следует Равенство, которое называется условием нормировки. Его левая часть - это вероятность достоверного события. 5. Пусть, тогда из (33.1) следует Это соотношение имеет важное значение для приложений, поскольку позволяет вычислить вероятность через плотность вероятности или через функцию распределения вероятностей. Если положить, то из (33.7) следует соотношение (33.6). На рис. 33.1 представлены примеры графиков функции распределения и плотности вероятностей. Отметим, что плотность распределения вероятности может иметь несколько максимумов. Значение аргумента, при котором плотность имеет максимум называется модой распределения случайной величины. Если плотность имеет более одной моды, то называется многомодальной. Плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины распределение дискретный вероятность плотность Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями,. Тогда ее функция распределения вероятностей где - функция единичного скачка. Определить плотность вероятности случайной величины по ее функции распределения можно с учетом равенства. Однако при этом возникают математические сложности, связанные с тем, что функция единичного скачка, входящая в (34.1), имеет разрыв первого рода при. Поэтому в точке не существует производная функции. Для преодоления этой сложности вводится -функция. Функцию единичного скачка можно представить через -функцию следующим равенством: Тогда формально производная и плотность вероятности дискретной случайной величины определяется из соотношения (34.1) как производная функции: Функция (34.4) обладает всеми свойствами плотности вероятности. Рассмотрим пример. Пусть дискретная случайная величина принимает значения с вероятностями, и пусть,. Тогда вероятность - того, что случайная величина примет значение из отрезка может быть вычислена, исходя из общих свойств плотности по формуле: Здесь, поскольку особая точка - функции, определяемая условием, находится внутри области интегрирования при, а при особая точка находится вне области интегрирования. Таким образом. Для функции (34.4) также выполняется условие нормировки: Отметим, что в математике запись вида (34.4) считается некорректной (неправильной), а запись (34.2) - корректной. Это обусловлено тем, что -функция при нулевом аргументе, и говорят, что не существует. С другой стороны, в (34.2)-функция содержится под интегралом. При этом правая часть (34.2) - конечная величина для любого, т.е. интеграл от -функции существует. Несмотря на это в физике, технике и других приложениях теории вероятностей часто используется представление плотности в виде (34.4), которое, во-первых, позволяет получать верные результаты, применяя свойства - функции, и во-вторых, имеет очевидную физическую интерпретацию. Примеры плотностей и функций распределения вероятностей 35.1.
Случайная величина называется равномерно распределенной на отрезке, если ее плотность распределения вероятностей где - число, определяемое из условия нормировки: Подстановка (35.1) в (35.2) приводит к равенству, решение которого относительно имеет вид:. Функция распределения вероятностей равномерно распределенной случайной величины может быть найдена по формуле (33.5), определяющей через плотность: На рис. 35.1 представлены графики функций и равномерно распределенной случайной величины. 35.2.
Случайная величина называется нормальной (или гауссовой), если ее плотность распределения вероятностей: где, - числа, называемые параметрами функции. При функция принимает свое максимальное значение:. Параметр имеет смысл эффективной ширины. Кроме этой геометрической интерпретации параметры, имеют и вероятностную трактовку, которая будет рассмотрена в последующем. Из (35.4) следует выражение для функции распределения вероятностей где - функция Лапласа. На рис. 35.2 представлены графики функций и нормальной случайной величины. Для обозначения того, что случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами и часто используется запись. 35.3.
Случайная величина имеет плотность распределения вероятностей Коши, если Этой плотности соответствует функция распределения 35.4.
Случайная величина называется распределенной по экспоненциальному закону, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид: Определим ее функцию распределения вероятностей. При из (35.8) следует. Если, то 35.5.
Релеевское распределение вероятностей случайной величины определяется плотностью вида Этой плотности соответствует функция распределения вероятностей при и равная при. 35.6.
Рассмотрим примеры построения функции распределения и плотности дискретной случайной величины. Пусть случайная величина - это число успехов в последовательности из независимых испытаний. Тогда случайная величина принимает значения, с вероятностью, которая определяется формулой Бернулли: где, - вероятности успеха и неуспеха в одном опыте. Таким образом, функция распределения вероятностей случайной величины имеет вид где - функция единичного скачка. Отсюда плотность распределения: где - дельта-функция. Сингулярные случайные величины Кроме дискретных и непрерывных случайных величин существуют еще так называемые сингулярные случайные величины. Эти случайные величины характеризуются тем, что их функция распределения вероятностей - непрерывна, но точки роста образуют множество нулевой меры. Точкой роста функции называется значение ее аргумента такое, что производная. Таким образом, почти всюду на области определения функции. Функцию, удовлетворяющую этому условию, также называют сингулярной. Примером сингулярной функции распределения является кривая Кантора (рис. 36.1), которая строится следующим образом. Полагается при и при. Затем интервал разбивается на три равных части (сегмента) и для внутреннего сегмента определяется значение - как полусумма уже определенных значений на ближайших сегментах справа и слева. На данный момент функция определена для, ее значение, и для со значением. Полусумма этих значений равна и определяет значение на внутреннем сегменте. Затем рассматриваются отрезки и, каждый из них разбивается на три равных сегмента и функция определяется на внутренних сегментах как полусумма ближайших справа и слева заданных значений функции. Таким образом, при функция - как полусумма чисел и. Аналогично на интервале функция. Затем функция определяется на интервале, на котором и т.д. Случайные величины. Функция и плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины. Сингулярные случайные величины. Математическое ожидание случайной величины. Неравенство Чебышева. Моменты, кумулянты и характеристическая функция. реферат , добавлен 03.12.2007 Понятия теории вероятностей и математической статистики, применение их на практике. Определение случайной величины. Виды и примеры случайных величин. Закон распределения дискретной случайной величины. Законы распределения непрерывной случайной величины. реферат , добавлен 25.10.2015 Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал. Построение графика функции распределения случайной величины. Определение вероятности того, что наудачу взятое изделие отвечает стандарту. Закон распределения дискретной случайной величины. контрольная работа , добавлен 24.01.2013 Дискретные случайные величины и их распределения. Формула полной вероятности и формула Байеса. Общие свойства математического ожидания. Дисперсия случайной величины. Функция распределения случайной величины. Классическое определение вероятностей. контрольная работа , добавлен 13.12.2010 Функция распределения непрерывной случайной величины. Математическое ожидание непрерывной случайной величины, плотность распределения вероятностей системы. Ковариация. Коэффициент корреляции. лабораторная работа , добавлен 19.08.2002 Особенности функции распределения как самой универсальной характеристики случайной величины. Описание ее свойств, их представление с помощью геометрической интерпретации. Закономерности вычисления вероятности распределения дискретной случайной величины. презентация , добавлен 01.11.2013 Определение вероятностей различных событий по формуле Бернулли. Составление закона распределения дискретной случайной величины, вычисление математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины, плотностей вероятности. контрольная работа , добавлен 31.10.2013 Использование формулы Бернулли для нахождения вероятности происхождения события. Построение графика дискретной случайной величины. Математическое ожидание и свойства интегральной функции распределения. Функция распределения непрерывной случайной величины. контрольная работа , добавлен 29.01.2014 Теория вероятностей и закономерности массовых случайных явлений. Неравенство и теорема Чебышева. Числовые характеристики случайной величины. Плотность распределения и преобразование Фурье. Характеристическая функция гауссовской случайной величины. реферат , добавлен 24.01.2011 Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Одним из важнейших понятий теории вероятности (наряду со случайным событием и вероятностью) является понятие случайной величины. Определение.
Под случайной величиной понимаю величину, которая в результате опыта принимает то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Cлучайные величины (сокращенно с.в.) обозначаются прописными латинскими буквами X, Y, Z
,… (или строчными греческими буквами x (кси), h(эта), q (тэта), y(пси) и т.д.), а их возможные значения – соответствующими строчными буквами х
, у
, z
. Примерами с.в. могут служить: 1) число родившихся мальчиков среди ста новорожденных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: 0, 1, 2, ..., 100; 2) расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина. Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но и от многих других причин (силы и направления ветра, температуры и т.д.), которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (а
, b
). 3) Х
– число очков, появляющихся при бросании игральной кости; 4) Y
– число выстрелов до первого попадания в цель; 5) Z
– время безотказной работы прибора и т.п. (рост человека, курс доллара, количество бракованных деталей в партии, температура воздуха, выигрыши игрока, координата точки при случайном выборе ее на , прибыль фирмы, …). В первом примере случайная величина X
могла принять одно из следующих возможных значений: 0, 1, 2, . . ., 100. Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений X
. Таким образом, в этом примере случайная величина принимает отдельные, изолированные возможные значения. Во втором примере случайная величина могла принять любое из значений промежутка (а
, b
). Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины. Уже из сказанного можно заключить о целесообразности различать случайные величины, принимающие лишь отдельные, изолированные значения, и случайные величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток. Определение.
Дискретной
(прерывной) называют случайную величину (сокращено д.с.в.), которая принимает отдельные, счетные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. Определение.
Если же множество возможных значений с.в. несчетно, то такая величина называется непрерывной
(сокращенно н.с.в.). Непрерывная случайная величина может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Случайные величины X
и Y
(примеры 3 и 4) являются дискретными. С.в. Z
(пример 5) является непрерывной: ее возможные значения принадлежат промежутку 2 рi, или D(X) = хi2 рi – а для непрерывной величины, распределенной в интервале (a, b): a для интервала (-∞,∞): D (X) = 2 f(x)dx, или D (X) =х2 f(x)dx – Дисперсия характеризует среднее рассеяние, разбросанность значений случайной величины Х относительно ее математического ожидания. Само слово «дисперсия» означает «рассеяние». Но дисперсия D(Х) имеет размерность квадрата случайной величины, что весьма неудобно при оценке разброса в физических, биологических, медицинских и др. приложениях. Поэтому обычно пользуются другим параметром, размерность которого совпадает с размерностью Х. Это среднее квадратичное
отклонение
случайной величины Х, которое обозначают s
(Х) : s
(Х) =
(3.13) Итак, математическое ожидание, мода, медиана, дисперсия и среднее квадратичное отклонение являются наиболее употребляемыми
числовыми характеристиками распределений случайных величин, каждая из которых, как было показано, выражает какое-нибудь характерное свойство этого распределения. 3.4.
Нормальный закон распределения случайных величин
Нормальный закон распределения
(закон Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей. Во-первых, это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения непрерывных случайных величин. Во-вторых, он является предельным
законом, в том смысле, что к нему при определенных условиях приближаются другие законы распределения. Нормальный закон
распределения характеризуется следующей формулой для плотности вероятности: С возрастанием s
максимальная ордината кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, растягиваясь вдоль оси абсцисс, тогда как при уменьшении s
кривая вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков (рис. 6). Естественно, что при любых значениях М(Х) и s площадь, ограниченная нормальной кривой и осью Х, остается равной 1 (условие нормировки): f(х) dх = 1, или f(х) dх = Нормальное распределение симметрично, поэтому М(Х) = Мо(Х) = Ме(Х). Вероятность попадания значений случайной величины Х в интервал (x1,x2), т. е. Р (x1 < Х< x2) равна Р (x1 < Х < x2) = Р (М(Х) - s
< Х < М(Х) + s
) = 0,6827 = 68,27%. (3.16) Р (М(Х) - 2s < Х < М(Х) + 2s) = 0,9545 = 95,45 %. (3.17) Р (М(Х) - 3s < Х < М(Х) + 3s) = 0,9973 = 99,73 %. (3.18) Из (3.18) следует, что значения нормально распределенной случайной величины Х с параметрами М(Х) и s с вероятностью Р = 99,73% лежат в интервале М(Х) ± 3s, иначе в этот интервал попадают практически все возможные значения данной случайной величины. Такой способ оценки диапазона возможных значений случайной величины известен как «правило трех сигм». Пример.
Известно, что для человека рН крови является нормально распределенной величиной со средним значением (математическим ожиданием) 7,4 и стандартным отклонением 0,2. Определите диапазон возможных значений этого параметра. Решение:
Для ответа на этот вопрос воспользуемся “правилом трех сигм”. С вероятностью равной 99,73% можно утверждать, что диапазон значений рН для человека составляет 7,4 ± 3·0,2, т. е 6,8÷8. * Если точные значения границ интервала неизвестны, то рассматривают интервал (-¥, + ¥).
Подобные документы
, (3.13)
Здесь х - текущие значения случайной величины X, а М(X) и s
- ее математическое ожидание и стандартное отклонение, которые полностью определяют функцию f(x). Таким образом, если случайная величина распределена по нормальному закону, то достаточно знать только два числовых параметра: М(Х) и
s
, чтобы полностью знать закон ее распределения (3.13).
График функции (3.13) называется нормальной кривой
распределения
(кривой Гаусса). Он имеет симметричный вид относительно ординаты х = М(Х). Максимальная плотность вероятности, равная » , соответствует математическому ожиданию `Х=М(Х), и по мере удаления от нее плотность вероятности f(х) симметрично спадает, постепенно приближась к нулю (рис. Изменение значения М(Х) в (3.13) не меняет форму нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси абсцисс. Величина М(Х) называется также центром рассеяния, а среднеквадратичное отклонение s
характеризует ширину кривой распределения (см. Рис.3.6) .
. (3.15)
На практике часто встречается задача нахождения вероятности попадания значений нормально распределенной случайной величины в интервал, симметричный относительно М(Х). В частности, рассмотрим следующую, важную в прикладном отношении задачу. Отложим от М(Х) вправо и влево отрезки равные s, 2s и 3s (рис. 7) и рассмотрим результат вычисления вероятности попадания Х в соответствующие интервалы:
Загрузка...